与えられた不等式 $\log_3 (x-4) + \log_3 (x-2) < 1$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\log_3 (x-4) + \log_3 (x-2) < 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、真数条件を確認します。対数の真数は正である必要があるため、$x-4 > 0$ かつ $x-2 > 0$ が必要です。

したがって、$x > 4$ かつ $x > 2$ となり、$x > 4$ が真数条件となります。

次に、対数の性質を用いて不等式を簡略化します。対数の和は真数の積に等しいので、

$\log_3 (x-4) + \log_3 (x-2) = \log_3 ((x-4)(x-2))$

したがって、不等式は

$\log_3 ((x-4)(x-2)) < 1$

となります。

底が3の対数を外します。$3^1 = 3$ なので、

$(x-4)(x-2) < 3$

展開して整理すると、

$x^2 - 6x + 8 < 3$

$x^2 - 6x + 5 < 0$

$(x-1)(x-5) < 0$

したがって、$1 < x < 5$ となります。

最後に、真数条件 $x > 4$ と $1 < x < 5$ の共通範囲を求めます。

$4 < x < 5$

3. 最終的な答え

$4 < x < 5$