連立方程式 $\begin{cases} ax - by = 30 \\ 2by - ax = -10 \end{cases}$ の解が $x = -5$, $y = 4$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

ax - by = 30 \\

2by - ax = -10

\end{cases}$

の解が $x = -5$, $y = 4$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$x = -5$ と $y = 4$ を連立方程式に代入します。

まず、1つ目の式に代入すると、

$a(-5) - b(4) = 30$

$-5a - 4b = 30$

次に、2つ目の式に代入すると、

$2b(4) - a(-5) = -10$

$8b + 5a = -10$

これらを整理すると、以下の連立方程式が得られます。

$\begin{cases}

-5a - 4b = 30 \\

5a + 8b = -10

\end{cases}$

この連立方程式を解きます。2つの式を足し合わせると、$a$ が消去されます。

$(-5a - 4b) + (5a + 8b) = 30 + (-10)$

$4b = 20$

$b = 5$

$b = 5$ をどちらかの式に代入して、$a$ を求めます。

$-5a - 4b = 30$ に代入すると、

$-5a - 4(5) = 30$

$-5a - 20 = 30$

$-5a = 50$

$a = -10$

3. 最終的な答え

$a = -10$

$b = 5$