$|F_1| (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}) = 5.0$ が与えられたときに、$|F_1|$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$|F_1| (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}) = 5.0$ が与えられたときに、$|F_1|$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ は $\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$ と書き換えられます。

したがって、$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$ となります。

元の式は

$|F_1| \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = 5.0$

と書き換えられます。

両辺に $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ をかけると、

$|F_1| = 5.0 \times \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

となります。

$|F_1| = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ をかけます。

$|F_1| = \frac{10\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{10\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{10\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{5\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = \frac{5(\sqrt{18} - \sqrt{6})}{2} = \frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$

$|F_1| = \frac{15\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}{2}$

さらに、

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6}$

$|F_1| = 5.0 / (\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6}) = \frac{30}{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

$|F_1| = \frac{30(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(3\sqrt{2}+\sqrt{6})(3\sqrt{2}-\sqrt{6})} = \frac{30(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{18-6} = \frac{30(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{12} = \frac{5(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2} = \frac{15\sqrt{2}-5\sqrt{6}}{2}$

約$4.02$

3. 最終的な答え

$|F_1| = \frac{15\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}{2}$