ある商品Aは、売り値が60円のとき1日に400個売れる。売り値を60円から1円値上げするごとに、1日に売れる個数が5個ずつ減少する。商品Aの売り値が60円以上として、売り上げ高が最大になるのはいくらかを求める問題です。 売り値を60円から$x$円値上げしたときの1日の売り上げ高を$y$円とする。1日に売れる個数は$(400 - \text{ケ}x)$個と表され、$x \ge 0$、$400 - \text{ケ}x \ge 0$より、$0 \le x \le \text{コサ}$という条件が与えられている。

1. 問題の内容

ある商品Aは、売り値が60円のとき1日に400個売れる。売り値を60円から1円値上げするごとに、1日に売れる個数が5個ずつ減少する。商品Aの売り値が60円以上として、売り上げ高が最大になるのはいくらかを求める問題です。

売り値を60円から$x$円値上げしたときの1日の売り上げ高を$y$円とする。1日に売れる個数は$(400 - \text{ケ}x)$個と表され、$x \ge 0$、$400 - \text{ケ}x \ge 0$より、$0 \le x \le \text{コサ}$という条件が与えられている。

2. 解き方の手順

まず、問題文から空欄を埋めます。

1日の売り上げ高は、(商品の価格) × (売れる個数) で求められます。

* 商品の価格：$60 + x$

* 売れる個数：$400 - 5x$ (1円値上げするごとに5個ずつ減少するので)

よって、

1日に売れる個数は、$400 - 5x$個なので、ケ = 5。

$x \ge 0$, $400 - 5x \ge 0$ より、$5x \le 400$となり、$x \le 80$。

したがって、$0 \le x \le 80$なので、コサ = 80。

売り上げ高 $y$ は、

$y = (60 + x)(400 - 5x)$

$= 24000 - 300x + 400x - 5x^2$

$= -5x^2 + 100x + 24000$

$= -5(x^2 - 20x) + 24000$

$= -5(x^2 - 20x + 100 - 100) + 24000$

$= -5(x - 10)^2 + 500 + 24000$

$= -5(x - 10)^2 + 24500$

$0 \le x \le 80$ の範囲で $y$ の最大値を求める。

$y$ は $x = 10$ のとき最大値 $24500$ をとる。

このとき、商品の価格は $60 + 10 = 70$ (円)

3. 最終的な答え

ケ = 5

コサ = 80

70円のとき1日の売り上げ高が最大になる。