与えられた2つの2次方程式が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、その時の重解を求める問題です。 (1) $x^2 + 2x + m - 3 = 0$ (2) $4x^2 + (m+2)x + m - 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次方程式が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、その時の重解を求める問題です。

(1) $x^2 + 2x + m - 3 = 0$

(2) $4x^2 + (m+2)x + m - 1 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D = 0$ となることです。

(1) の場合

$a = 1, b = 2, c = m - 3$ より、判別式 $D$ は

$D = 2^2 - 4(1)(m - 3) = 4 - 4m + 12 = 16 - 4m$

重解を持つためには $D = 0$ なので、

$16 - 4m = 0$

$4m = 16$

$m = 4$

$m=4$ を元の式に代入すると、$x^2 + 2x + 4 - 3 = 0$ となり、$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

(2) の場合

$a = 4, b = m+2, c = m-1$ より、判別式 $D$ は

$D = (m+2)^2 - 4(4)(m-1) = m^2 + 4m + 4 - 16m + 16 = m^2 - 12m + 20$

重解を持つためには $D = 0$ なので、

$m^2 - 12m + 20 = 0$

$(m - 2)(m - 10) = 0$

$m = 2, 10$

$m = 2$ のとき、元の式は $4x^2 + 4x + 1 = 0$

$(2x + 1)^2 = 0$

$x = -\frac{1}{2}$

$m = 10$ のとき、元の式は $4x^2 + 12x + 9 = 0$

$(2x + 3)^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $m = 4$ のとき、重解は $x = -1$

(2) $m = 2$ のとき、重解は $x = -\frac{1}{2}$

$m = 10$ のとき、重解は $x = -\frac{3}{2}$