与えられた不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。 (1) $a^2 + 4b^2 \geq 2ab$ (2) $a^2 + 12b^2 \geq 6ab$

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

(1) $a^2 + 4b^2 \geq 2ab$

(2) $a^2 + 12b^2 \geq 6ab$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 + 4b^2 \geq 2ab$ の証明

不等式の左辺から右辺を引いたものを考えます。

$a^2 + 4b^2 - 2ab = a^2 - 2ab + 4b^2 = (a-b)^2 + 3b^2$

$(a-b)^2 \geq 0$ および $3b^2 \geq 0$ なので、

$(a-b)^2 + 3b^2 \geq 0$

したがって、$a^2 + 4b^2 - 2ab \geq 0$ となり、$a^2 + 4b^2 \geq 2ab$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(a-b)^2 = 0$ かつ $3b^2=0$ のときです。

$(a-b)^2 = 0$ より $a = b$ であり、$3b^2=0$より $b = 0$ なので、$a = b = 0$ のとき等号が成り立ちます。

(2) $a^2 + 12b^2 \geq 6ab$ の証明

不等式の左辺から右辺を引いたものを考えます。

$a^2 + 12b^2 - 6ab = a^2 - 6ab + 12b^2 = a^2 - 2(3b)a + (3b)^2 - (3b)^2 + 12b^2 = (a - 3b)^2 - 9b^2 + 12b^2 = (a - 3b)^2 + 3b^2$

$(a-3b)^2 \geq 0$ および $3b^2 \geq 0$ なので、

$(a-3b)^2 + 3b^2 \geq 0$

したがって、$a^2 + 12b^2 - 6ab \geq 0$ となり、$a^2 + 12b^2 \geq 6ab$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(a-3b)^2 = 0$ かつ $3b^2=0$ のときです。

$(a-3b)^2 = 0$ より $a = 3b$ であり、$3b^2 = 0$ より $b = 0$ なので、$a = 3b = 0$ より $a=b=0$のとき等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $a^2 + 4b^2 \geq 2ab$ は成り立つ。等号が成り立つのは $a = b = 0$ のとき。

(2) 不等式 $a^2 + 12b^2 \geq 6ab$ は成り立つ。等号が成り立つのは $a = b = 0$ のとき。