$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos{2\theta} + \sin{\theta} = 0$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos{2\theta} + \sin{\theta} = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

$\cos{2\theta}$ を $\sin{\theta}$ を用いて表すために、2倍角の公式 $\cos{2\theta} = 1 - 2\sin^2{\theta}$ を使用する。

$1 - 2\sin^2{\theta} + \sin{\theta} = 0$

この式を整理する。

$2\sin^2{\theta} - \sin{\theta} - 1 = 0$

$x = \sin{\theta}$ とおくと、

$2x^2 - x - 1 = 0$

この2次方程式を解く。

$(2x + 1)(x - 1) = 0$

よって、$x = -\frac{1}{2}$ または $x = 1$ となる。

$\sin{\theta} = -\frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

$\sin{\theta} = 1$ のとき、$\theta = \frac{1}{2}\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$