与えられた式 $(x^2-4x+3)(x^2-12x+35)-9$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2-4x+3)(x^2-12x+35)-9$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの括弧の中を因数分解します。

$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$

$x^2 - 12x + 35 = (x-5)(x-7)$

元の式は

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9$

となります。

ここで、$x-4=t$ とおくと、

$x-1 = t+3$

$x-3 = t+1$

$x-5 = t-1$

$x-7 = t-3$

となるので、

$(t+3)(t+1)(t-1)(t-3) - 9 = (t+3)(t-3)(t+1)(t-1) - 9 = (t^2-9)(t^2-1)-9$

$=t^4 - 10t^2 + 9 - 9 = t^4 - 10t^2 = t^2(t^2-10)$

となります。

$t=x-4$ を代入すると、

$(x-4)^2((x-4)^2 - 10) = (x-4)^2(x^2 - 8x + 16 - 10) = (x-4)^2(x^2 - 8x + 6)$

したがって、

$(x^2-4x+3)(x^2-12x+35)-9 = (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-9$

$=(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) - 9$

$A = x^2 - 8x$ とおくと、

$(A + 7)(A + 15) - 9 = A^2 + 22A + 105 - 9 = A^2 + 22A + 96 = (A+6)(A+16)$

$A = x^2 - 8x$ を戻すと、

$(x^2 - 8x + 6)(x^2 - 8x + 16) = (x^2 - 8x + 6)(x-4)^2$

3. 最終的な答え

$(x-4)^2(x^2-8x+6)$