$2^x = 3^y = 12^z$ かつ $xyz \neq 0$ のとき、$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ を証明する。

1. 問題の内容

$2^x = 3^y = 12^z$ かつ $xyz \neq 0$ のとき、$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = 3^y = 12^z = k$ とおく（$k > 0$, $k \neq 1$）。

すると、

$2 = k^{\frac{1}{x}}$

$3 = k^{\frac{1}{y}}$

$12 = k^{\frac{1}{z}}$

と表せる。

$12 = 2^2 \cdot 3$ であるから、

$k^{\frac{1}{z}} = (k^{\frac{1}{x}})^2 \cdot k^{\frac{1}{y}}$

$k^{\frac{1}{z}} = k^{\frac{2}{x}} \cdot k^{\frac{1}{y}}$

$k^{\frac{1}{z}} = k^{\frac{2}{x} + \frac{1}{y}}$

したがって、$\frac{1}{z} = \frac{2}{x} + \frac{1}{y}$

よって、$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ が成り立つ。