問題は大きく分けて2つのパートに分かれています。 パート1は、与えられた2次関数に対し、xの変域が与えられたときにyの変域を求める問題です。 パート2は、2次関数 $y=ax^2$ （またはその変形）について、xの変域とyの変域が与えられたときに、係数 $a$ や、変域の端の値を求める問題です。特に、(5)と(6)は $y=\frac{1}{2}x^2$ と $y=-x^2$ で変域の端の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて2つのパートに分かれています。

パート1は、与えられた2次関数に対し、xの変域が与えられたときにyの変域を求める問題です。

パート2は、2次関数 $y=ax^2$ （またはその変形）について、xの変域とyの変域が与えられたときに、係数 $a$ や、変域の端の値を求める問題です。特に、(5)と(6)は $y=\frac{1}{2}x^2$ と $y=-x^2$ で変域の端の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

パート1:

2次関数のグラフの形（上に凸か下に凸か）と、xの変域から、yの最大値と最小値を求めます。

xの変域に頂点が含まれるかどうかを考慮することが重要です。

例えば、(1)の①では、$y=3x^2$ は下に凸で、xの変域 $1 \le x \le 4$ に頂点 $x=0$ は含まれないため、x=1とx=4のときのyの値を計算し、yの変域を決定します。

(2)の①では、$y=-2x^2$ は上に凸で、xの変域 $-6 \le x \le -2$ に頂点 $x=0$ は含まれないため、x=-6とx=-2のときのyの値を計算し、yの変域を決定します。

(3),(4)も同様に考えます。

パート2:

(1)~$y=ax^2$ で、xの変域が$-2 \le x \le 3$のとき、yの変域が$0 \le y \le 6$である。

x=0が含まれるので、yの最小値は0である。

yの最大値が6なので、$x=-2$か$x=3$のどちらかで$y=6$になる。

$x=-2$のとき、$y=a(-2)^2=4a=6$より、$a=\frac{3}{2}$

$x=3$のとき、$y=a(3)^2=9a=6$より、$a=\frac{2}{3}$

$a > 0$ なので、どちらも条件を満たす。問題にグラフの凸に関する情報が特にない場合、どちらも解答となり得る。

(2)~$y=ax^2$ で、xの変域が$0 \le x \le 3$のとき、yの変域が$0 \le y \le 27$である。

x=0を含むので、yの最小値は0である。

yの最大値が27なので、$x=3$のとき$y=27$になる。

$y=a(3)^2=9a=27$より、$a=3$

(3)~$y=ax^2$ で、xの変域が$-2 \le x \le 6$のとき、yの変域が$0 \le y \le 12$である。

x=0を含むので、yの最小値は0である。

yの最大値が12なので、$x=-2$か$x=6$のどちらかで$y=12$になる。

$x=-2$のとき、$y=a(-2)^2=4a=12$より、$a=3$

$x=6$のとき、$y=a(6)^2=36a=12$より、$a=\frac{1}{3}$

$a > 0$ なので、どちらも条件を満たす。問題にグラフの凸に関する情報が特にない場合、どちらも解答となり得る。

(4)~$y=ax^2$ で、xの変域が$-1 \le x \le 3$のとき、yの変域が$-18 \le y \le 0$である。

x=0を含むので、yの最大値は0である。

yの最小値が-18なので、$x=-1$か$x=3$のどちらかで$y=-18$になる。

$x=-1$のとき、$y=a(-1)^2=a=-18$

$x=3$のとき、$y=a(3)^2=9a=-18$より、$a=-2$

$a < 0$ なので、どちらも条件を満たす。問題にグラフの凸に関する情報が特にない場合、どちらも解答となり得る。

(5) $y = \frac{1}{2}x^2$ において、xの変域が $-6 \le x \le m$ のとき、yの変域が $2 \le y \le n$ である。

$x=-6$のとき、$y=\frac{1}{2}(-6)^2=18$

$2 \le y \le n$なので、最小値y=2になるxを探すと、$y=\frac{1}{2}x^2 = 2$より、$x^2=4$なので、$x=2$または$x=-2$である。

xの範囲は$-6 \le x \le m$なので、x=-2を採用する。よって、$m=-2$

$x=-6$のとき、$y=\frac{1}{2}(-6)^2=18$

$x=m=-2$のとき、$y=\frac{1}{2}(-2)^2=2$

よって、$n=18$

$m=-2$,$n=18$

(6) $y = -x^2$ において、xの変域が $m \le x \le 2$ のとき、yの変域が $-9 \le y \le n$ である。

$x=2$のとき、$y=-(2)^2=-4$

$-9 \le y \le n$なので、最小値y=-9になるxを探すと、$y=-(x)^2 = -9$より、$x^2=9$なので、$x=3$または$x=-3$である。

xの範囲は$m \le x \le 2$なので、x=-3を採用する。よって、$m=-3$

$x=-3$のとき、$y=-(-3)^2=-9$

$x=2$のとき、$y=-(2)^2=-4$

よって、$n=-4$

$m=-3$,$n=-4$

3. 最終的な答え

パート1：省略

パート2：

(1) $a = \frac{3}{2}$ または $a = \frac{2}{3}$

(2) $a = 3$

(3) $a = 3$ または $a = \frac{1}{3}$

(4) $a = -18$ または $a = -2$

(5) $m = -2$, $n = 18$

(6) $m = -3$, $n = -4$