与えられた関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ について、定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値と最大値を、それぞれ異なる $a$ の範囲で求める問題です。具体的には、以下の問いに答えます。 (1) $a < 0$, $0 \le a \le 2$, $a > 2$ のそれぞれの場合について、最小値を求めます。 (2) $a < 1$, $a = 1$, $a > 1$ のそれぞれの場合について、最大値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ について、定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値と最大値を、それぞれ異なる $a$ の範囲で求める問題です。具体的には、以下の問いに答えます。

(1) $a < 0$, $0 \le a \le 2$, $a > 2$ のそれぞれの場合について、最小値を求めます。

(2) $a < 1$, $a = 1$, $a > 1$ のそれぞれの場合について、最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 2a^2 = (x - a)^2 - a^2 + 2a^2 = (x - a)^2 + a^2$

この関数の軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

(1) 最小値を求める。

[1] $a < 0$ のとき、軸 $x = a$ は定義域の左側にあります。したがって、$x = 0$ で最小値をとります。

$y(0) = (0 - a)^2 + a^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

[2] $0 \le a \le 2$ のとき、軸 $x = a$ は定義域の中にあります。したがって、$x = a$ で最小値をとります。

$y(a) = (a - a)^2 + a^2 = 0 + a^2 = a^2$

[3] $a > 2$ のとき、軸 $x = a$ は定義域の右側にあります。したがって、$x = 2$ で最小値をとります。

$y(2) = (2 - a)^2 + a^2 = 4 - 4a + a^2 + a^2 = 2a^2 - 4a + 4$

(2) 最大値を求める。

最大値は、軸から最も遠い定義域の端点でとります。

[1] $a < 1$ のとき、軸は定義域の中央 ($x = 1$) よりも左にあります。$x = 2$ が軸からより遠いので、$x = 2$ で最大値をとります。

$y(2) = 2a^2 - 4a + 4$

[2] $a = 1$ のとき、軸は定義域の中央にあります。$x = 0$ と $x = 2$ で同じ最大値をとります。

$y(0) = y(2) = 2(1)^2 - 4(1) + 4 = 2$

あるいは

$y(0) = (0 - 1)^2 + 1^2 = 2$

$y(2) = (2 - 1)^2 + 1^2 = 2$

[3] $a > 1$ のとき、軸は定義域の中央 ($x = 1$) よりも右にあります。$x = 0$ が軸からより遠いので、$x = 0$ で最大値をとります。

$y(0) = 2a^2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

[1] $a < 0$ のとき: $2a^2$

[2] $0 \le a \le 2$ のとき: $a^2$

[3] $a > 2$ のとき: $2a^2 - 4a + 4$

(2) 最大値

[1] $a < 1$ のとき: $2a^2 - 4a + 4$

[2] $a = 1$ のとき: $2$

[3] $a > 1$ のとき: $2a^2$