与えられた問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) 方程式 $x^2 + x + 1 = 0$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、等式 $(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2) = (1+x)(1+\omega x)(1+\omega^2 x)$ が成り立つことを証明する。 (2) 任意の自然数 $n$ に対して、$\omega^n$ の値を求める。 (3) 自然数 $n$ が奇数かつ3の倍数でないとき、$(x+1)^n - x^n - 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れることを証明する。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の3つの部分から構成されています。

(1) 方程式 $x^2 + x + 1 = 0$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、等式 $(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2) = (1+x)(1+\omega x)(1+\omega^2 x)$ が成り立つことを証明する。

(2) 任意の自然数 $n$ に対して、$\omega^n$ の値を求める。

(3) 自然数 $n$ が奇数かつ3の倍数でないとき、$(x+1)^n - x^n - 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 等式の証明

$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解であるから、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ および $\omega^3 = 1$ が成り立つ。

左辺: $(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2) = (x+1)(x^2 + (\omega + \omega^2)x + \omega^3) = (x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$

右辺: $(1+x)(1+\omega x)(1+\omega^2 x) = (1+x)(1 + (\omega + \omega^2)x + \omega^3 x^2) = (1+x)(1 - x + x^2) = x^3 + 1$

したがって、左辺 = 右辺となり、与えられた等式は成り立つ。

(2) $\omega^n$ の値

$\omega^3 = 1$ より、$n$ を3で割った余りで場合分けする。

* $n = 3k$ (kは整数) のとき、$\omega^n = \omega^{3k} = (\omega^3)^k = 1^k = 1$

* $n = 3k+1$ (kは整数) のとき、$\omega^n = \omega^{3k+1} = \omega^{3k} \cdot \omega = \omega$

* $n = 3k+2$ (kは整数) のとき、$\omega^n = \omega^{3k+2} = \omega^{3k} \cdot \omega^2 = \omega^2$

(3) $(x+1)^n - x^n - 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れることの証明

$n$ は奇数であるから、$n = 2m+1$ (mは整数) と書ける。また、$n$ は3の倍数でないから、$n \equiv 1 \pmod{3}$ または $n \equiv 2 \pmod{3}$。

$x^2 + x + 1 = 0$ の解は $\omega$ と $\omega^2$ であるから、$(x+1)^n - x^n - 1$ が $x^2 + x + 1$ で割り切れるためには、$(\omega+1)^n - \omega^n - 1 = 0$ かつ $(\omega^2+1)^n - (\omega^2)^n - 1 = 0$ が成り立つ必要がある。

$\omega + 1 = -\omega^2$ および $\omega^2 + 1 = -\omega$ であるから、

$(-\omega^2)^n - \omega^n - 1 = 0$ かつ $(-\omega)^n - \omega^{2n} - 1 = 0$ を示す。

$n$ は奇数なので、$(-1)^n = -1$。よって、

$-\omega^{2n} - \omega^n - 1 = 0$ かつ $-\omega^n - \omega^{2n} - 1 = 0$ となる。

つまり、$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = 0$ を示せばよい。

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$n = 3k+1$ と書ける。

$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{2(3k+1)} + \omega^{3k+1} + 1 = \omega^{6k+2} + \omega^{3k+1} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$n = 3k+2$ と書ける。

$\omega^{2n} + \omega^n + 1 = \omega^{2(3k+2)} + \omega^{3k+2} + 1 = \omega^{6k+4} + \omega^{3k+2} + 1 = \omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$

したがって、$(\omega+1)^n - \omega^n - 1 = 0$ および $(\omega^2+1)^n - (\omega^2)^n - 1 = 0$ が成り立つため、$(x+1)^n - x^n - 1$ は $x^2 + x + 1$ で割り切れる。

3. 最終的な答え

(1) 等式 $(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2) = (1+x)(1+\omega x)(1+\omega^2 x)$ は成り立つ。

(2) $\omega^n = \begin{cases} 1 & (n \equiv 0 \pmod{3}) \\ \omega & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\ \omega^2 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \end{cases}$

(3) 自然数 $n$ が奇数かつ3の倍数でないとき、$(x+1)^n - x^n - 1$ は $x^2 + x + 1$ で割り切れる。