与えられた数列 $\{a_n\}$ は群に分けられており、第 $k$ 群は初項 $k$, 公差 $k$, 項数 $k$ の等差数列である。 (1) 第10群の3番目の項の値を求め、それが数列 $\{a_n\}$ の第何項かを求める。 (2) $a_n = 100$ を満たす自然数 $n$ をすべて求める。 (3) (2) で求めた $n$ を小さい順に $n_1, n_2, n_3, \dots$ とするとき、数列 $\{a_n\}$ の第 $n_1$ 項から第 $n_3$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ は群に分けられており、第 $k$ 群は初項 $k$, 公差 $k$, 項数 $k$ の等差数列である。

(1) 第10群の3番目の項の値を求め、それが数列 $\{a_n\}$ の第何項かを求める。

(2) $a_n = 100$ を満たす自然数 $n$ をすべて求める。

(3) (2) で求めた $n$ を小さい順に $n_1, n_2, n_3, \dots$ とするとき、数列 $\{a_n\}$ の第 $n_1$ 項から第 $n_3$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第10群の数列は初項10、公差10なので、3番目の項は $10 + (3-1) \times 10 = 10 + 20 = 30$ である。

第 $k$ 群の項数は $k$ なので、第9群までの項数の合計は

$\sum_{k=1}^9 k = \frac{9(9+1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45$ である。

したがって、第10群の3番目の項は、数列 $\{a_n\}$ の第 $45+3 = 48$ 項である。

(2) 第 $k$ 群の一般項は $k + (m-1)k = mk$ ($m$ は群の中での項数) と表せる。

$a_n = 100$ となる $n$ を探す。つまり、$mk = 100$ となる $m$ と $k$ を探す。

ここで、$1 \le m \le k$ であり、$m$ と $k$ は自然数である。

$100 = 1 \times 100 = 2 \times 50 = 4 \times 25 = 5 \times 20 = 10 \times 10$

$mk = 100$ となる組み合わせは

$(m, k) = (1, 100), (2, 50), (4, 25), (5, 20), (10, 10)$ である。

これらのうち、$1 \le m \le k$ を満たすものはすべて条件を満たす。

次に、各群の最後の項の番号を計算する。第 $k$ 群の最後の項の番号は $\frac{k(k+1)}{2}$ である。

(i) $(m, k) = (1, 100)$ のとき、第99群までの項数は $\frac{99(99+1)}{2} = \frac{99 \times 100}{2} = 4950$ なので、$n = 4950 + 1 = 4951$

(ii) $(m, k) = (2, 50)$ のとき、第49群までの項数は $\frac{49(49+1)}{2} = \frac{49 \times 50}{2} = 1225$ なので、$n = 1225 + 2 = 1227$

(iii) $(m, k) = (4, 25)$ のとき、第24群までの項数は $\frac{24(24+1)}{2} = \frac{24 \times 25}{2} = 300$ なので、$n = 300 + 4 = 304$

(iv) $(m, k) = (5, 20)$ のとき、第19群までの項数は $\frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$ なので、$n = 190 + 5 = 195$

(v) $(m, k) = (10, 10)$ のとき、第9群までの項数は $\frac{9(9+1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45$ なので、$n = 45 + 10 = 55$

(3) (2) で求めた $n$ を小さい順に並べると、 $n_1 = 55, n_2 = 195, n_3 = 304$ である。

求める和は $\sum_{n=55}^{304} a_n = \sum_{n=1}^{304} a_n - \sum_{n=1}^{54} a_n$ である。

これは等差数列の和ではないので、直接計算する必要がある。

第9群までの項数は45、第10群の10項目まで足せば55項になる。$a_{55}=100$.

第19群までの項数は190、第20群の5項目まで足せば195項になる。$a_{195}=100$.

第24群までの項数は300、第25群の4項目まで足せば304項になる。$a_{304}=100$.

$\sum_{n=55}^{304} a_n$は難しい。

別の方法を試す。

$\sum_{n=n_1}^{n_3} a_n = \sum_{n=55}^{304} a_n$

$a_{55} = a_{10, 10} = 10 \times 10 = 100$

$a_{195} = a_{20, 5} = 20 \times 5 = 100$

$a_{304} = a_{25, 4} = 25 \times 4 = 100$

$\sum_{k=10}^{25} S_k = \sum_{k=10}^{25} \frac{k(k+1)}{2}k = \sum_{k=10}^{25} \frac{k^2(k+1)}{2}$

求める和は、$\sum_{n=55}^{304} a_n = \sum_{\text{各群}} \sum_{m=1}^{k} mk$

第10群: $100+110+...+190$

第11群: $110+121+...+220$

$\sum_{k=10}^{24} \frac{k(k+1)}{2}k + 25 \times 100$

$\sum_{i=55}^{304} a_i$

3. 最終的な答え

(1) 30, 48項

(2) 55, 195, 304, 1227, 4951

(3) 43750