与えられた連立方程式を解く問題がいくつかあります。具体的には以下の問題が含まれています。 (1) $\begin{cases} 2x - 5y = 20 \\ -3x - y = -2 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} -0.2x - 0.1y = 0.4 \\ -0.1x + 0.08y = -0.06 \end{cases}$ (5) $3x - 7y = -x - (3y + 8) = 2 - (3x + 4y)$ (53) $\begin{cases} ax + y = 2 \\ 8x - 3y = a \end{cases}$ の解が $x=2, y=b$ であるときの $a, b$ の値を求める。 (55) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ x : y = 1 : 1 \end{cases}$ (56) $\begin{cases} (x+4) : (y+1) = 5 : 2 \\ 3(x-y) + 8 = 2x + 5 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解く問題がいくつかあります。具体的には以下の問題が含まれています。

(1) $\begin{cases} 2x - 5y = 20 \\ -3x - y = -2 \end{cases}$

(3) $\begin{cases} -0.2x - 0.1y = 0.4 \\ -0.1x + 0.08y = -0.06 \end{cases}$

(5) $3x - 7y = -x - (3y + 8) = 2 - (3x + 4y)$

(53) $\begin{cases} ax + y = 2 \\ 8x - 3y = a \end{cases}$ の解が $x=2, y=b$ であるときの $a, b$ の値を求める。

(55) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ x : y = 1 : 1 \end{cases}$

(56) $\begin{cases} (x+4) : (y+1) = 5 : 2 \\ 3(x-y) + 8 = 2x + 5 \end{cases}$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解いていきます。

(1) $\begin{cases} 2x - 5y = 20 \\ -3x - y = -2 \end{cases}$

まず、2つ目の式を5倍します。

$\begin{cases} 2x - 5y = 20 \\ -15x - 5y = -10 \end{cases}$

1つ目の式から2つ目の式を引きます。

$2x - (-15x) = 20 - (-10)$

$17x = 30$

$x = \frac{30}{17}$

これを2つ目の式に代入します。

$-3(\frac{30}{17}) - y = -2$

$-\frac{90}{17} - y = -2$

$y = - \frac{90}{17} + 2 = - \frac{90}{17} + \frac{34}{17} = - \frac{56}{17}$

(3) $\begin{cases} -0.2x - 0.1y = 0.4 \\ -0.1x + 0.08y = -0.06 \end{cases}$

両方の式を100倍します。

$\begin{cases} -20x - 10y = 40 \\ -10x + 8y = -6 \end{cases}$

一つ目の式を2で割ります。

$\begin{cases} -10x - 5y = 20 \\ -10x + 8y = -6 \end{cases}$

2つ目の式から1つ目の式を引きます。

$8y - (-5y) = -6 - 20$

$13y = -26$

$y = -2$

これを1つ目の式に代入します。

$-10x - 5(-2) = 20$

$-10x + 10 = 20$

$-10x = 10$

$x = -1$

(5) $3x - 7y = -x - (3y + 8) = 2 - (3x + 4y)$

$3x - 7y = -x - 3y - 8$

$3x - 7y = 2 - 3x - 4y$

$\begin{cases} 3x - 7y = -x - 3y - 8 \\ 3x - 7y = 2 - 3x - 4y \end{cases}$

$\begin{cases} 4x - 4y = -8 \\ 6x - 3y = 2 + 7y - 4y \\ 6x - 3y = 2 + 3y \\ 6x - 6y = 2 \end{cases}$

$\begin{cases} x - y = -2 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases}$

2つ目の式から1つ目の式を3倍したものを引きます。

$3x - 3y - 3(x - y) = 1 - 3(-2)$

$0 = 7$

これは矛盾しているので、解なし。

(53) $\begin{cases} ax + y = 2 \\ 8x - 3y = a \end{cases}$ の解が $x=2, y=b$ なので、代入します。

$\begin{cases} 2a + b = 2 \\ 16 - 3b = a \end{cases}$

2つ目の式を書き換えます。 $a = 16 - 3b$

1つ目の式に代入します。

$2(16 - 3b) + b = 2$

$32 - 6b + b = 2$

$-5b = -30$

$b = 6$

$a = 16 - 3(6) = 16 - 18 = -2$

(55) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ x : y = 1 : 1 \end{cases}$

$x : y = 1 : 1$ なので $x = y$

$x + 2x = 3$

$3x = 3$

$x = 1$

したがって、$x = 1, y = 1$

(56) $\begin{cases} (x+4) : (y+1) = 5 : 2 \\ 3(x-y) + 8 = 2x + 5 \end{cases}$

$\begin{cases} 2(x+4) = 5(y+1) \\ 3x - 3y + 8 = 2x + 5 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x + 8 = 5y + 5 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x - 5y = -3 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

1つ目の式から2つ目の式を2倍したものを引きます。

$2x - 5y - 2(x - 3y) = -3 - 2(-3)$

$2x - 5y - 2x + 6y = -3 + 6$

$y = 3$

$x - 3(3) = -3$

$x - 9 = -3$

$x = 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{30}{17}, y = - \frac{56}{17}$

(3) $x = -1, y = -2$

(5) 解なし

(53) $a = -2, b = 6$

(55) $x = 1, y = 1$

(56) $x = 6, y = 3$