与えられた2次関数 $y = -x^2 + 4x + 6$ の、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 4x + 6$ の、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 6 = -(x^2 - 4x) + 6 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 6 = -(x-2)^2 + 4 + 6 = -(x-2)^2 + 10$

よって、この2次関数の頂点は $(2, 10)$ であることがわかります。

また、この関数は $x^2$ の係数が負なので上に凸なグラフになります。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を考えます。頂点の $x$ 座標は $x=2$ で、これは定義域の外にあります。

$x = -1$ のとき、 $y = -(-1)^2 + 4(-1) + 6 = -1 - 4 + 6 = 1$

$x = 1$ のとき、 $y = -(1)^2 + 4(1) + 6 = -1 + 4 + 6 = 9$

定義域 $-1 \le x \le 1$ において、関数は $x$ が小さいほど大きくなります。

よって、$x = 1$ のときに最大値 $9$ をとり、$x = -1$ のときに最小値 $1$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値: 9

最小値: 1