この問題は、2つの等差数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ と 2つの等比数列 $\{c_n\}$, $\{d_n\}$ に関する問題です。 (1) では、これらの数列を用いて新しい数列を作り、それが等差数列、等比数列のどちらであるかを判定します。 (2) では、具体的な等差数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ について、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k}$ を計算します。 (3) では、等差数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ に対して $\frac{1}{a_n b_n}$ の部分分数分解を求め、和を計算します。 (4) では、数列 $a_n = n$ と $c_n = 3^{n-1}$ に対して、数列 $\{a_n c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、2つの等差数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ と 2つの等比数列 $\{c_n\}$, $\{d_n\}$ に関する問題です。

(1) では、これらの数列を用いて新しい数列を作り、それが等差数列、等比数列のどちらであるかを判定します。

(2) では、具体的な等差数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ について、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k}$ を計算します。

(3) では、等差数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ に対して $\frac{1}{a_n b_n}$ の部分分数分解を求め、和を計算します。

(4) では、数列 $a_n = n$ と $c_n = 3^{n-1}$ に対して、数列 $\{a_n c_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A: $a_n + b_n$ は等差数列同士の和なので、等差数列になります。よってアは 0 です。

B: $c_n + d_n$ は等比数列同士の和ですが、必ずしも等比数列になるとは限りません。よってイは 2 です。

数列 C, D, E, F, G, H について、等差数列とも等比数列とも言えないものがいくつあるか数えます。

C: $a_n + c_n$ は等差数列と等比数列の和なので、一般に等差数列でも等比数列でもありません。

D: $3a_n$ は等差数列を定数倍したものなので、等差数列です。

E: $4c_n$ は等比数列を定数倍したものなので、等比数列です。

F: $\{\frac{1}{c_n}\}$ は等比数列の逆数なので、等比数列です。

G: $a_n b_n$ は等差数列同士の積なので、一般に等差数列でも等比数列でもありません。

H: $c_n d_n$ は等比数列同士の積なので、等比数列です。

したがって、常に等差数列であるとも、常に等比数列であるともいえない数列は CとGの2つです。よってウは 2 です。

(2) $a_n = 2 + 2(n-1) = 2n$

$b_n = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k (2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k(2k+1)}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k(2k+1)}$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k (2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(2k+1)}$

問題文より、$a_n = 2n$ と $b_n = 2n+1$ なので、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k (2k+1)}$ は誤り。

正しくは、$a_n = 2 + 2(n-1) = 2n$, $b_n = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$なので、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k)(2k+1)}$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + \frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+1} = \frac{n}{n(n+1)(\text{オ} n + \text{カ}) }$

$a_n = 2n$ で $b_n = 2n+1$ なので、$a_n b_n = 2n(2n+1) = 4n^2 + 2n$。

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2 + 2k}$ を求める問題。

(3) $\frac{1}{a_n b_n} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a_n} - \frac{1}{b_n}) = \frac{\text{キ}}{\text{ク}}$

$\{a_n\}$ が初項3、公差2の等差数列なので、$a_n = 3 + 2(n-1) = 2n+1$

$\{b_n\}$ が初項5、公差2の等差数列なので、$b_n = 5 + 2(n-1) = 2n+3$

$\frac{1}{a_n b_n} = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+3}$ とおく。

$1 = A(2n+3) + B(2n+1)$

$2n+3 = 0$ のとき、$n = -\frac{3}{2}$ なので、 $1 = B(-3+1) = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

$2n+1 = 0$ のとき、$n = -\frac{1}{2}$ なので、 $1 = A(-1+3) = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{a_n b_n} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{a_n} - \frac{1}{b_n})$

したがって、$\text{キ} = 1$, $\text{ク} = 2$

$\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i b_i} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\frac{1}{2i+1} - \frac{1}{2i+3}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2} \frac{2n+3-3}{3(2n+3)} = \frac{1}{2} \frac{2n}{3(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)} = \frac{n}{6n+9}$

したがって、$\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i b_i} = \frac{n}{\text{ケ}n + \text{サ}}$より、$\text{ケ} = 6$, $\text{サ} = 9$

(4) $a_n = n$, $c_n = 3^{n-1}$ のとき、数列 $(a_n c_n)$ の初項から第n項までの和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k c_k = \sum_{k=1}^n k 3^{k-1} = 1 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

$3S_n = \sum_{k=1}^n k 3^k = 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^n$

$S_n - 3S_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n 3^n = \frac{1 - 3^n}{1-3} - n 3^n = \frac{3^n - 1}{2} - n 3^n$

$-2S_n = \frac{3^n - 1}{2} - n 3^n$

$S_n = \frac{n 3^n}{2} - \frac{3^n - 1}{4} = \frac{2n 3^n - 3^n + 1}{4} = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$

$S_n = \frac{\text{シ} n - \text{ス}}{\text{セ}} 3^n + \text{ソ}$

$S_n - 3S_n = \sum_{k=1}^n k 3^{k-1} - \sum_{k=1}^n k 3^k = \sum_{k=1}^n k 3^{k-1} - \sum_{k=2}^{n+1} (k-1) 3^{k-1} = 1 + \sum_{k=2}^n (k - (k-1)) 3^{k-1} - n 3^n = 1 + \sum_{k=2}^n 3^{k-1} - n 3^n = \sum_{k=0}^{n-1} 3^k - n 3^n = \frac{3^n - 1}{3-1} - n 3^n = \frac{3^n - 1}{2} - n 3^n$

$S_n - 3S_n = -2 S_n = \frac{3^n - 1 - 2n 3^n}{2} = \frac{(1 - 2n) 3^n - 1}{2} = \sum_{k=0}^{n-1} 3^{k+1} 0 k = n 3^{n}$

$S_n = \frac{(2n - 1) 3^n + 1}{4}$

したがって、$\text{シ} = 2$, $\text{ス} = 1$, $\text{セ} = 4$, $\text{ソ} = 1$

$\frac{1}{4} ((2n-1)3^n + 1) = \frac{\text{タ} n - \text{チ}}{\text{ツ}} 3^n + \text{ソ}$ と比較すると、$\text{タ} = 2$, $\text{チ} = 1$, $\text{ツ} = 4$, $\text{ソ} = \frac{1}{4}$

しかし、問題の形式から $\text{ソ}$ は整数なので、計算に誤りがある。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 2

ウ: 2

エ: 1

オ: n

カ: 1

キ: 1

ク: 2

ケ: 6

サ: 9

シ: 2

ス: 1

セ: 4

ソ: 1/4

タ: 2

チ: 1

ツ: 4