$a$ を定数とする。2次方程式 $3x^2 - 2ax - a + 8 = 0$ の解の種類を判別する問題です。$a$ の値の範囲によって、異なる2つの実数解、重解、異なる2つの虚数解のいずれになるかを答えます。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2次方程式 $3x^2 - 2ax - a + 8 = 0$ の解の種類を判別する問題です。$a$ の値の範囲によって、異なる2つの実数解、重解、異なる2つの虚数解のいずれになるかを答えます。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$　($ax^2 + bx + c = 0$ のとき)

この問題では、$a=3$, $b=-2a$, $c = -a + 8$ なので、

$D = (-2a)^2 - 4(3)(-a+8) = 4a^2 + 12a - 96 = 4(a^2 + 3a - 24)$

判別式 $D$ の符号によって解の種類が決定されます。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解

* $D = 0$ のとき、重解

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解

$D = 4(a^2 + 3a - 24) = 0$ となる $a$ を求めます。

$a^2 + 3a - 24 = 0$

解の公式より、$a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-24)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{105}}{2}$

したがって、$a = \frac{-3 + \sqrt{105}}{2}$ または $a = \frac{-3 - \sqrt{105}}{2}$ のときに重解となります。

問題の形式に合わせて解答するため、$a^2+3a-24 > 0$となる範囲を求めます。$a^2+3a-24=0$の解は、$a = \frac{-3 \pm \sqrt{105}}{2}$なので、$a < \frac{-3 - \sqrt{105}}{2}$ または $a > \frac{-3 + \sqrt{105}}{2}$のとき、$D>0$。

$a^2+3a-24 < 0$となる範囲は、$\frac{-3 - \sqrt{105}}{2} < a < \frac{-3 + \sqrt{105}}{2}$のとき、$D<0$。

$\sqrt{105}$ は $\sqrt{100}=10$ より少し大きいので、$\sqrt{105} \approx 10$ とすると、$\frac{-3 \pm 10}{2}$ より $\frac{-13}{2}=-6.5$と $\frac{7}{2}=3.5$ 付近となります。

ア=$\frac{-3+\sqrt{105}}{2}$、イ=①、ウ=105、エ=②、オ=$\frac{-3+\sqrt{105}}{2}$、カ=③

3. 最終的な答え

ア: $\frac{-3 + \sqrt{105}}{2}$

イ: ①

ウ: 105

エ: ②

オ: $\frac{-3 + \sqrt{105}}{2}$

カ: ③