$a$, $b$, $c$ を 1 でない正の数とする。 $\log_a b + \log_b c + \log_c a = \frac{1}{2}$, $\log_b a + \log_c b + \log_a c = -\frac{5}{2}$ であるとき、次の式の値を求めよ。 (1) $(\log_a b)(\log_b c)(\log_c a)$ (2) $(\log_a b)^2 + (\log_b c)^2 + (\log_c a)^2$ (3) $(\log_a b)^3 + (\log_b c)^3 + (\log_c a)^3$

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

$a$, $b$, $c$ を 1 でない正の数とする。

$\log_a b + \log_b c + \log_c a = \frac{1}{2}$, $\log_b a + \log_c b + \log_a c = -\frac{5}{2}$ であるとき、次の式の値を求めよ。

(1) $(\log_a b)(\log_b c)(\log_c a)$

(2) $(\log_a b)^2 + (\log_b c)^2 + (\log_c a)^2$

(3) $(\log_a b)^3 + (\log_b c)^3 + (\log_c a)^3$

2. 解き方の手順

まず、

$x = \log_a b, y = \log_b c, z = \log_c a$

とおくと、与えられた条件は

$x + y + z = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = -\frac{5}{2}$

となる。

また、(1)で求めるべき値は $xyz$ である。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz} = -\frac{5}{2}$

であるから、

$xy + yz + zx = -\frac{5}{2} xyz$

また、

$xyz = (\log_a b)(\log_b c)(\log_c a) = \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = \log_a a = 1$

である。

(1)

$(\log_a b)(\log_b c)(\log_c a) = xyz = 1$

(2)

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$

$x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$

である。

$x+y+z = \frac{1}{2}$, $xy+yz+zx = -\frac{5}{2}xyz = -\frac{5}{2}$

より、

$x^2+y^2+z^2 = (\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2}) = \frac{1}{4} + 5 = \frac{21}{4}$

(3)

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -xy -yz -zx)$

$x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) + 3xyz$

$x+y+z = \frac{1}{2}$, $x^2+y^2+z^2 = \frac{21}{4}$, $xy+yz+zx = -\frac{5}{2}$, $xyz=1$

より、

$x^3+y^3+z^3 = \frac{1}{2}(\frac{21}{4} - (-\frac{5}{2})) + 3 = \frac{1}{2}(\frac{21}{4} + \frac{10}{4}) + 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{31}{4} + 3 = \frac{31}{8} + \frac{24}{8} = \frac{55}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{21}{4}$

(3) $\frac{55}{8}$