2次方程式 $x^2 + 3ax + 2a^2 - 4a + 1 = 0$ が正の解と負の解を1つずつ持つような、$a$ の値の範囲を求めます。

## (4) の問題

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3ax + 2a^2 - 4a + 1 = 0$ が正の解と負の解を1つずつ持つような、$a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の積は $\frac{c}{a}$ で与えられます。この問題の場合、2つの解の積が負である条件を考えます。なぜなら、正の解と負の解を持つためには、解の積が負でなければならないからです。

与えられた2次方程式 $x^2 + 3ax + 2a^2 - 4a + 1 = 0$ において、$a = 1$, $b = 3a$, $c = 2a^2 - 4a + 1$ です。

2つの解の積は $\frac{c}{a} = \frac{2a^2 - 4a + 1}{1} = 2a^2 - 4a + 1$ です。

問題の条件を満たすためには、この解の積が負でなければなりません。したがって、次の不等式を解きます。

$2a^2 - 4a + 1 < 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $2a^2 - 4a + 1 = 0$ の解を求めます。解の公式を使用すると、

$a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、2次方程式 $2a^2 - 4a + 1 = 0$ の解は $a = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ と $a = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

2次不等式 $2a^2 - 4a + 1 < 0$ は、放物線 $y = 2a^2 - 4a + 1$ が $y < 0$ となる $a$ の範囲を求めることと同じです。これは、$a$ が2つの解の間にある場合に該当します。したがって、

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < a < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < a < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$