2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$x^2 - 4x + 2 = 0$ なので、$a=1, b=-4, c=2$ となります。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{1} = 4$

$\alpha \beta = \frac{2}{1} = 2$

ここで、$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を使って表します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

上記で求めた $\alpha + \beta = 4$ と $\alpha \beta = 2$ を代入します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (4)^2 - 2(2)$

$\alpha^2 + \beta^2 = 16 - 4 = 12$

3. 最終的な答え

12