画像にある3つの不等式を解きます。 (1) $(2x+3)(3x-2) < 0$ (3) $-x^2+4x-1 < 0$ (1) $x^2+8x+16 > 0$

1. 問題の内容

画像にある3つの不等式を解きます。

(1) $(2x+3)(3x-2) < 0$

(3) $-x^2+4x-1 < 0$

(1) $x^2+8x+16 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3)(3x-2) < 0$ を解きます。

まず、$2x+3=0$ と $3x-2=0$ を解き、$x=-\frac{3}{2}$ と $x=\frac{2}{3}$ を得ます。

次に、数直線を使い、$-\frac{3}{2} < x < \frac{2}{3}$ を満たす $x$ の範囲を探します。

$(2x+3)(3x-2) < 0$ となるのは、$2x+3$ と $3x-2$ の符号が異なる場合です。

$x < -\frac{3}{2}$ のとき、$2x+3<0$ かつ $3x-2<0$ なので $(2x+3)(3x-2) > 0$

$-\frac{3}{2} < x < \frac{2}{3}$ のとき、$2x+3>0$ かつ $3x-2<0$ なので $(2x+3)(3x-2) < 0$

$x > \frac{2}{3}$ のとき、$2x+3>0$ かつ $3x-2>0$ なので $(2x+3)(3x-2) > 0$

したがって、不等式の解は $-\frac{3}{2} < x < \frac{2}{3}$ です。

(3) $-x^2+4x-1 < 0$ を解きます。

まず、不等式の両辺に -1 を掛けて $x^2 - 4x + 1 > 0$ とします。

次に、$x^2 - 4x + 1 = 0$ を解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$x^2 - 4x + 1 > 0$ となる $x$ の範囲は、$x < 2 - \sqrt{3}$ または $x > 2 + \sqrt{3}$ です。

(1) $x^2+8x+16>0$ を解きます。

$x^2+8x+16 = (x+4)^2$ なので、$(x+4)^2 > 0$ を解きます。

$(x+4)^2$ は常に0以上なので、$x+4=0$ の場合を除けば常に正です。

したがって、$x \neq -4$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2} < x < \frac{2}{3}$

(3) $x < 2 - \sqrt{3}$ または $x > 2 + \sqrt{3}$

(1) $x \neq -4$