$x$ についての不等式 $3(x-2) < 8-4x$ と $2x+a \ge x+4$ がある。これらの不等式を同時に満たす整数 $x$ は $7$ だけであるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ についての不等式 $3(x-2) < 8-4x$ と $2x+a \ge x+4$ がある。これらの不等式を同時に満たす整数 $x$ は $7$ だけであるとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式 $3(x-2) < 8-4x$ を解きます。

$3x - 6 < 8 - 4x$

$7x < 14$

$x < 2$

2つ目の不等式 $2x+a \ge x+4$ を解きます。

$x \ge 4 - a$

これらの不等式を同時に満たす整数 $x$ は $7$ のみであるという条件から、$4 - a \le x < 2$ の範囲に整数 $7$ のみが含まれることになります。

$4-a \le 7 < 2$は明らかにおかしいので、$x \ge 4 - a$ の条件を満たす整数 $x$ は $7$ のみであることを考える。

つまり、

$x \ge 4-a$ を満たす最小の整数が $7$ である。

$7$ 以外の整数は条件を満たさないので、$6$ は条件を満たさない必要がある。

$4 - a \le 7 < 8$

かつ

$4 - a > 6$

$4 - a \le 7$ より

$-a \le 3$

$a \ge -3$

$4 - a > 6$ より

$-a > 2$

$a < -2$

したがって、$a$ の範囲は $-3 \le a < -2$ です。

3. 最終的な答え

$-3 \le a < -2$