(1) $x + 3y = k$ のとき、$x^2 + y^2$ の最小値が4となるような定数 $k$ の値を求める。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 8$ のとき、$xy$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x + 3y = k$ のとき、$x^2 + y^2$ の最小値が4となるような定数 $k$ の値を求める。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 8$ のとき、$xy$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x + 3y = k$ より $x = k - 3y$ である。これを $x^2 + y^2$ に代入すると、

$x^2 + y^2 = (k - 3y)^2 + y^2 = k^2 - 6ky + 9y^2 + y^2 = 10y^2 - 6ky + k^2$

となる。

これを $y$ について平方完成すると、

$10y^2 - 6ky + k^2 = 10(y^2 - \frac{3}{5}ky) + k^2 = 10(y - \frac{3}{5}k)^2 - 10(\frac{3}{5}k)^2 + k^2 = 10(y - \frac{3}{5}k)^2 - \frac{9}{5}k^2 + k^2 = 10(y - \frac{3}{5}k)^2 + \frac{k^2}{5}$

となる。

したがって、$x^2 + y^2$ の最小値は $\frac{k^2}{5}$ である。これが4に等しいので、

$\frac{k^2}{5} = 4$

$k^2 = 20$

$k = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$

このとき、 $y = \frac{3}{5} k$ なので、 $y = \pm \frac{6}{\sqrt{5}}$

$x = k - 3y = k - 3(\frac{3}{5}k) = k - \frac{9}{5}k = -\frac{4}{5}k = \mp \frac{8}{\sqrt{5}}$

計算ミスを修正します。

$x = k - 3y$を$x^2+y^2$に代入すると

$x^2+y^2 = (k-3y)^2 + y^2 = k^2 -6ky +9y^2+y^2 = 10y^2 -6ky +k^2$

これを平方完成すると

$10(y^2 -\frac{3}{5}ky) + k^2 = 10(y-\frac{3}{5}k)^2 - 10(\frac{9}{25}k^2) + k^2 = 10(y-\frac{3}{5}k)^2 + \frac{16}{25}k^2$

$x^2+y^2$ の最小値は $\frac{16}{50} k^2 = \frac{8}{25}k^2$となる。これが４に等しいので、

$\frac{8}{25}k^2 = 4$

$k^2 = \frac{25}{2}$

$k = \pm \sqrt{\frac{25}{2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$

別解

原点と直線 $x+3y=k$ の距離が $\sqrt{x^2+y^2}$ の最小値となる。

原点と直線 $ax+by+c=0$ の距離は $\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

原点と直線 $x+3y-k=0$ の距離は $\frac{|-k|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{10}}$

$x^2+y^2$ の最小値が４なので、$\sqrt{x^2+y^2}$ の最小値は２

よって $\frac{|k|}{\sqrt{10}} = 2$

$|k| = 2\sqrt{10}$

$k = \pm 2\sqrt{10}$

(2)

$2x + y = 8$ より $y = 8 - 2x$ である。これを $xy$ に代入すると、

$xy = x(8 - 2x) = 8x - 2x^2 = -2x^2 + 8x = -2(x^2 - 4x) = -2(x - 2)^2 + 8$

となる。

$x \geq 0$, $y \geq 0$ より、 $x \geq 0$ かつ $8 - 2x \geq 0$ であるから $x \leq 4$ である。

したがって、$0 \leq x \leq 4$ である。

$xy = -2(x - 2)^2 + 8$ は、$x = 2$ のとき最大値 8 をとる。

$x = 0$ または $x = 4$ のとき、$xy = 0$ となる。

したがって、最大値は 8, 最小値は 0 である。

3. 最終的な答え

(1) $k = 2\sqrt{10}, -2\sqrt{10}$

(2) 最大値 8, 最小値 0