与えられた4つの数式について、計算を行い、それぞれを簡単にしてください。 (1) $\frac{x^2}{x+2} \times \frac{x+2}{x^2-4x}$ (2) $\frac{x+3}{x^2-x-6} \times \frac{x^2+4x+4}{x^2+5x+6}$ (3) $\frac{x-3}{x+1} \div \frac{1}{x^2+x}$ (4) $\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \div \frac{x^2+x}{x-4}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数式について、計算を行い、それぞれを簡単にしてください。

(1) $\frac{x^2}{x+2} \times \frac{x+2}{x^2-4x}$

(2) $\frac{x+3}{x^2-x-6} \times \frac{x^2+4x+4}{x^2+5x+6}$

(3) $\frac{x-3}{x+1} \div \frac{1}{x^2+x}$

(4) $\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \div \frac{x^2+x}{x-4}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2}{x+2} \times \frac{x+2}{x^2-4x}$

まず、各分数を因数分解します。

$x^2 - 4x = x(x-4)$

したがって、

$\frac{x^2}{x+2} \times \frac{x+2}{x(x-4)} = \frac{x^2(x+2)}{(x+2)x(x-4)}$

$x$と$x+2$を約分して、

$\frac{x}{x-4}$

(2) $\frac{x+3}{x^2-x-6} \times \frac{x^2+4x+4}{x^2+5x+6}$

各分数を因数分解します。

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$

したがって、

$\frac{x+3}{(x-3)(x+2)} \times \frac{(x+2)^2}{(x+2)(x+3)} = \frac{(x+3)(x+2)^2}{(x-3)(x+2)^2(x+3)}$

$(x+3)$と$(x+2)^2$を約分して、

$\frac{1}{x-3}$

(3) $\frac{x-3}{x+1} \div \frac{1}{x^2+x}$

除算を乗算に変換し、2番目の分数の逆数を取ります。

$\frac{x-3}{x+1} \times (x^2+x) = \frac{x-3}{x+1} \times x(x+1)$

$x+1$を約分して、

$(x-3)x = x(x-3) = x^2 - 3x$

(4) $\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \div \frac{x^2+x}{x-4}$

除算を乗算に変換し、2番目の分数の逆数を取ります。

$\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \times \frac{x-4}{x^2+x}$

各分数を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

$x^2 + x = x(x+1)$

したがって、

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} \times \frac{x-4}{x(x+1)} = \frac{(x-1)(x+1)(x-4)}{(x-1)(x-2)x(x+1)}$

$(x-1)$と$(x+1)$を約分して、

$\frac{x-4}{x(x-2)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x}{x-4}$

(2) $\frac{1}{x-3}$

(3) $x^2 - 3x$

(4) $\frac{x-4}{x(x-2)}$