与えられた式を因数分解します。式は $m^2 + 3mn + 5m + 12n + 4$ です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解します。式は $m^2 + 3mn + 5m + 12n + 4$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のように書き換えます。

$m^2 + 3mn + 5m + 12n + 4$

式を $m$ について整理します。

$m^2 + (3n + 5)m + (12n + 4)$

この式を因数分解できる形 $(m + A)(m + B)$ で表すことを目指します。

$A$ と $B$ は $n$ を含む式である可能性があります。

$(m + A)(m + B) = m^2 + (A+B)m + AB$

したがって、次の2つの条件を満たす必要があります。

$A+B = 3n+5$

$AB = 12n+4$

$AB = 12n + 4 = 4(3n + 1)$.

$A$と$B$を具体的に見つけるのは難しいので、別の方法を試します。

式全体を因数分解できるかどうかを考えてみましょう。もし、因数分解できるのであれば、

$(m+an+b)(m+cn+d) = m^2 + (a+c)mn + (b+d)m + acn^2 + (ad+bc)n + bd$

上記の式を展開すると、$n^2$の項が出てきますが、元の式には$n^2$の項がないので、うまく因数分解できないようです。

ここで、$12n + 4 = 4(3n + 1)$ に注目し、式を $m^2 + 3mn + 5m + 12n + 4 = m^2 + 3mn + 12n + 5m + 4$ と並べ替えて、うまく因数分解できるか試します。

$m^2 + 3mn + 5m + 12n + 4 = m(m+3n+5) + 4(3n+1)$. この形にしても、因数分解は簡単にはできません。

しかし、$m^2 + 3mn + 5m + 12n + 4$ をよく見ると、$m^2 + 3mn + 5m + 12n + 4 = (m+4)(m+3n+1)$ と因数分解できます。

実際に展開して確かめてみましょう。

$(m+4)(m+3n+1) = m^2 + 3mn + m + 4m + 12n + 4 = m^2 + 3mn + 5m + 12n + 4$

3. 最終的な答え

$(m+4)(m+3n+1)$