次の4つの式を計算する問題です。 (1) $\frac{x^2}{x+2} \times \frac{x+2}{x^2-4x}$ (2) $\frac{x+3}{x^2-x-6} \times \frac{x^2+4x+4}{x^2+5x+6}$ (3) $\frac{x-3}{x+1} \div \frac{1}{x^2+x}$ (4) $\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \div \frac{x^2+x}{x-4}$

1. 問題の内容

次の4つの式を計算する問題です。

(1) $\frac{x^2}{x+2} \times \frac{x+2}{x^2-4x}$

(2) $\frac{x+3}{x^2-x-6} \times \frac{x^2+4x+4}{x^2+5x+6}$

(3) $\frac{x-3}{x+1} \div \frac{1}{x^2+x}$

(4) $\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \div \frac{x^2+x}{x-4}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2}{x+2} \times \frac{x+2}{x^2-4x}$

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 4x = x(x-4)$

よって、

$\frac{x^2}{x+2} \times \frac{x+2}{x(x-4)}$

$= \frac{x^2(x+2)}{(x+2)x(x-4)}$

$= \frac{x}{x-4}$

(2) $\frac{x+3}{x^2-x-6} \times \frac{x^2+4x+4}{x^2+5x+6}$

分母と分子をそれぞれ因数分解します。

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$

よって、

$\frac{x+3}{(x-3)(x+2)} \times \frac{(x+2)^2}{(x+2)(x+3)}$

$= \frac{(x+3)(x+2)^2}{(x-3)(x+2)(x+2)(x+3)}$

$= \frac{1}{x-3}$

(3) $\frac{x-3}{x+1} \div \frac{1}{x^2+x}$

割り算を掛け算に変換し、分母を因数分解します。

$x^2 + x = x(x+1)$

$\frac{x-3}{x+1} \times \frac{x(x+1)}{1}$

$= \frac{(x-3)x(x+1)}{x+1}$

$= x(x-3) = x^2 - 3x$

(4) $\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \div \frac{x^2+x}{x-4}$

割り算を掛け算に変換し、分母と分子をそれぞれ因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

$x^2 + x = x(x+1)$

よって、

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} \times \frac{x-4}{x(x+1)}$

$= \frac{(x-1)(x+1)(x-4)}{(x-1)(x-2)x(x+1)}$

$= \frac{x-4}{x(x-2)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x}{x-4}$

(2) $\frac{1}{x-3}$

(3) $x^2 - 3x$

(4) $\frac{x-4}{x(x-2)}$