複素数の足し算、引き算、掛け算、そして2乗の計算を行う問題です。 具体的には、以下の4つの計算問題を解きます。 (1) $(2+5i)+(3-4i)$ (2) $(\sqrt{2}-3i)-(\sqrt{2}-i)$ (3) $(2-i)(5+4i)$ (4) $(1+2i)^2$

1. 問題の内容

複素数の足し算、引き算、掛け算、そして2乗の計算を行う問題です。

具体的には、以下の4つの計算問題を解きます。

(1) $(2+5i)+(3-4i)$

(2) $(\sqrt{2}-3i)-(\sqrt{2}-i)$

(3) $(2-i)(5+4i)$

(4) $(1+2i)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(2+5i)+(3-4i)$

実部と虚部をそれぞれ足し合わせます。

$2+3 = 5$

$5i - 4i = i$

したがって、

$(2+5i)+(3-4i) = 5 + i$

(2) $(\sqrt{2}-3i)-(\sqrt{2}-i)$

実部と虚部をそれぞれ引き算します。

$\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

$-3i - (-i) = -3i + i = -2i$

したがって、

$(\sqrt{2}-3i)-(\sqrt{2}-i) = -2i$

(3) $(2-i)(5+4i)$

分配法則を用いて展開します。

$(2-i)(5+4i) = 2(5) + 2(4i) - i(5) - i(4i) = 10 + 8i - 5i - 4i^2$

ここで、$i^2 = -1$なので、

$10 + 8i - 5i - 4(-1) = 10 + 3i + 4 = 14 + 3i$

したがって、

$(2-i)(5+4i) = 14 + 3i$

(4) $(1+2i)^2$

$(1+2i)^2 = (1+2i)(1+2i) = 1(1) + 1(2i) + 2i(1) + 2i(2i) = 1 + 2i + 2i + 4i^2$

ここで、$i^2 = -1$なので、

$1 + 4i + 4(-1) = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

したがって、

$(1+2i)^2 = -3 + 4i$

3. 最終的な答え

(1) $5 + i$

(2) $-2i$

(3) $14 + 3i$

(4) $-3 + 4i$