放物線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = -x^2 + 2x$ と $x$軸との交点を求めます。

$x$軸との交点は、$y = 0$となる点なので、

$-x^2 + 2x = 0$

$x(-x + 2) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = 2$となります。

したがって、放物線と$x$軸との交点は$(0, 0)$と$(2, 0)$です。

次に、定積分を用いて面積を計算します。

面積$S$は、

$S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx$

$S = \left[-\frac{1}{3}x^3 + x^2\right]_{0}^{2}$

$S = \left(-\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2\right) - \left(-\frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2\right)$

$S = -\frac{8}{3} + 4$

$S = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3}$

$S = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$