問題は以下の2つです。 (1) 関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が微分可能なとき、積の微分公式 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ が成り立つことを、微分の定義を用いて証明する。 (2) 関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が微分可能で、かつ $g(x) \neq 0$ のとき、商の微分公式 $\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ が成り立つことを、微分の定義を用いて証明する。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が微分可能なとき、積の微分公式 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ が成り立つことを、微分の定義を用いて証明する。

(2) 関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が微分可能で、かつ $g(x) \neq 0$ のとき、商の微分公式 $\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ が成り立つことを、微分の定義を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式の証明

微分の定義より、

$\{f(x)g(x)\}' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

この式を変形するために、$f(x+h)g(x) - f(x+h)g(x)$ を分子に加える（つまり $0$ を足す）と、

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)(g(x+h) - g(x)) + g(x)(f(x+h) - f(x))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \left( f(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right)$

$f(x)$ と $g(x)$ は微分可能なので、$h \to 0$ のとき $f(x+h) \to f(x)$ である。したがって、

$= f(x) \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$= f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

$= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

よって、$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ が成り立つ。

(2) 商の微分公式の証明

微分の定義より、

$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h g(x+h) g(x)}$

この式を変形するために、$-f(x)g(x) + f(x)g(x)$ を分子に加える（つまり $0$ を足す）と、

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+h)}{h g(x+h) g(x)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{g(x)(f(x+h) - f(x)) - f(x)(g(x+h) - g(x))}{h g(x+h) g(x)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{g(x)\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f(x)\frac{g(x+h) - g(x)}{h}}{g(x+h) g(x)}$

$f(x)$ と $g(x)$ は微分可能なので、$h \to 0$ のとき $g(x+h) \to g(x)$ である。したがって、

$= \frac{g(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f(x) \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}}{g(x) g(x)}$

$= \frac{g(x) f'(x) - f(x) g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

よって、$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(2) $\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$