与えられた式 $x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この式を因数分解するために、平方完成の考え方を利用します。

まず、$x^4 + x^2 + 1$ に $x^2$ を足して、全体から $x^2$ を引くことを考えます。これにより、式は以下のように変形されます。

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

$x^4 + 2x^2 + 1$ は $(x^2 + 1)^2$ と因数分解できます。したがって、

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

これは $A^2 - B^2$ の形をしているので、和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を適用できます。ここで、$A = x^2 + 1$、$B = x$ とすると、

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)$

整理すると、

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$