定積分 $\int_{-3}^{1} (10x^2 - 3x - 4) \, dx + \int_{1}^{3} (10x^2 - 3x - 4) \, dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{1} (10x^2 - 3x - 4) \, dx + \int_{1}^{3} (10x^2 - 3x - 4) \, dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を用いて積分範囲をまとめる。

$$\int_{-3}^{1} (10x^2 - 3x - 4) \, dx + \int_{1}^{3} (10x^2 - 3x - 4) \, dx = \int_{-3}^{3} (10x^2 - 3x - 4) \, dx$$

次に、被積分関数を積分する。

$$\int (10x^2 - 3x - 4) \, dx = \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 4x + C$$

よって、定積分は

$$\int_{-3}^{3} (10x^2 - 3x - 4) \, dx = \left[ \frac{10}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 4x \right]_{-3}^{3}$$

積分範囲の端点を代入して計算する。

$$\left[ \frac{10}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 4(3) \right] - \left[ \frac{10}{3}(-3)^3 - \frac{3}{2}(-3)^2 - 4(-3) \right]$$

$$= \left[ \frac{10}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) - 12 \right] - \left[ \frac{10}{3}(-27) - \frac{3}{2}(9) + 12 \right]$$

$$= \left[ 90 - \frac{27}{2} - 12 \right] - \left[ -90 - \frac{27}{2} + 12 \right]$$

$$= 78 - \frac{27}{2} + 90 + \frac{27}{2} - 12$$

$$= 78 + 90 - 12 = 156$$

3. 最終的な答え

156