次の関数を微分せよ。 (1) $y = \log 3x$ (3) $y = \log (x^2 + 1)$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \log 3x$

(3) $y = \log (x^2 + 1)$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \log 3x$ を微分する。対数の底が明示されていないので、常用対数（底が10）と考える。

$y = \log 3x = \log 3 + \log x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\log 3 + \log x) = \frac{d}{dx} \log 3 + \frac{d}{dx} \log x$

定数の微分は0であるから、 $\frac{d}{dx} \log 3 = 0$

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x \ln 10}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 10}$

(3)

$y = \log (x^2 + 1)$ を微分する。これも常用対数と考える。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \log (x^2 + 1)$

合成関数の微分を行う。

$u = x^2 + 1$ とおくと、 $y = \log u$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln 10} = \frac{1}{(x^2 + 1) \ln 10}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{(x^2 + 1) \ln 10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 10}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{(x^2 + 1) \ln 10}$