次の関数の $n$ 次導関数を求める問題です。 (1) $e^x \cos x$ (2) $\frac{1}{x^2-1}$

1. 問題の内容

次の関数の $n$ 次導関数を求める問題です。

(1) $e^x \cos x$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^x \cos x$ の場合

まず、$f'(x), f''(x), f'''(x)$ を計算して、規則性を見つける。

$f'(x) = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x)$

$f''(x) = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = -2e^x \sin x$

$f'''(x) = -2e^x \sin x - 2e^x \cos x = -2e^x (\sin x + \cos x)$

$f^{(4)}(x) = -2e^x (\sin x + \cos x) - 2e^x (\cos x - \sin x) = -4e^x \cos x$

$f^{(5)}(x) = -4e^x \cos x + 4e^x \sin x = 4e^x (-\cos x + \sin x)$

$f^{(6)}(x) = 4e^x (-\cos x + \sin x) + 4e^x (\sin x + \cos x) = 8e^x \sin x$

$f^{(7)}(x) = 8e^x \sin x + 8e^x \cos x = 8e^x (\sin x + \cos x)$

$f^{(8)}(x) = 8e^x (\sin x + \cos x) + 8e^x (\cos x - \sin x) = 16e^x \cos x$

ここで、$e^x \cos x = \sqrt{2} e^x \cos(x - \frac{\pi}{4})$と書けることに注目します。

$f'(x) = e^x (\cos x - \sin x) = \sqrt{2} e^x \cos(x + \frac{\pi}{4})$

$f''(x) = -2 e^x \sin x = 2 e^x \cos(x + \frac{\pi}{2})$

$f'''(x) = -2 e^x (\sin x + \cos x) = 2 \sqrt{2} e^x \cos(x + \frac{3\pi}{4})$

一般に、$f^{(n)}(x) = (\sqrt{2})^n e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$ と推測できる。数学的帰納法で証明できる。

(2) $g(x) = \frac{1}{x^2-1}$ の場合

部分分数分解を行うと、

$g(x) = \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$(\frac{1}{x-1})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$

$(\frac{1}{x+1})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}$

したがって、

$g^{(n)}(x) = \frac{1}{2} (\frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

$g^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{(x+1)^{n+1} - (x-1)^{n+1}}{(x^2-1)^{n+1}})$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = (\sqrt{2})^n e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$

(2) $g^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

もしくは

(2) $g^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{(x+1)^{n+1} - (x-1)^{n+1}}{(x^2-1)^{n+1}})$