関数 $y = 2\cos 2\theta + 2(a+1)\sin\theta - a - 2$ が与えられています。 (1) $a=1$ のとき、$\theta = 0$ のときの $y$ の値を求めます。 (2) $a=-1$ のとき、$0 \le \theta \le \pi$ において $y=0$ を満たす $\theta$ の値を求めます。 (3) $t = \sin\theta$ とおくとき、$y$ を $a, t$ を用いて表し、さらに $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$y=0$ を満たす $\theta$ の値が4個存在するような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\cos 2\theta + 2(a+1)\sin\theta - a - 2$ が与えられています。

(1) $a=1$ のとき、$\theta = 0$ のときの $y$ の値を求めます。

(2) $a=-1$ のとき、$0 \le \theta \le \pi$ において $y=0$ を満たす $\theta$ の値を求めます。

(3) $t = \sin\theta$ とおくとき、$y$ を $a, t$ を用いて表し、さらに $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$y=0$ を満たす $\theta$ の値が4個存在するような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a=1, \theta=0$ を与えられた式に代入します。

$\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$ であるから、

$y = 2\cos(2\cdot 0) + 2(1+1)\sin 0 - 1 - 2 = 2\cdot 1 + 2\cdot 2 \cdot 0 - 1 - 2 = 2 + 0 - 1 - 2 = -1$

(2) $a=-1$ を与えられた式に代入すると、

$y = 2\cos 2\theta + 2(-1+1)\sin \theta - (-1) - 2 = 2\cos 2\theta + 0 + 1 - 2 = 2\cos 2\theta - 1$

$y=0$ より、$2\cos 2\theta - 1 = 0$

$\cos 2\theta = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$0 \le 2\theta \le 2\pi$

$2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(3) $y = 2\cos 2\theta + 2(a+1)\sin\theta - a - 2$

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を用いると、

$y = 2(1 - 2\sin^2\theta) + 2(a+1)\sin\theta - a - 2 = 2 - 4\sin^2\theta + 2(a+1)\sin\theta - a - 2 = -4\sin^2\theta + 2(a+1)\sin\theta - a$

$t = \sin\theta$ を代入すると、

$y = -4t^2 + 2(a+1)t - a$

$y = 0$ となる $\theta$ が4個存在するためには、

$-4t^2 + 2(a+1)t - a = 0$

$4t^2 - 2(a+1)t + a = 0$

となる $t$ の値が、$0 < t < 1$ の範囲に2個存在する必要があります。

$f(t) = 4t^2 - 2(a+1)t + a$ とおくと、

判別式 $D > 0$

軸 $0 < \frac{2(a+1)}{8} < 1$

$f(0) > 0$

$f(1) > 0$

$D = 4(a+1)^2 - 16a = 4(a^2 + 2a + 1) - 16a = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a-1)^2 > 0$

$a \neq 1$

$0 < \frac{a+1}{4} < 1$

$0 < a+1 < 4$

$-1 < a < 3$

$f(0) = a > 0$

$f(1) = 4 - 2(a+1) + a = 4 - 2a - 2 + a = 2 - a > 0$

$a < 2$

したがって、$0 < a < 2$, $a \neq 1$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(3) $y = -4t^2 + 2(a+1)t - a$, $0 < a < 1$, $1 < a < 2$