問題は3つのパートに分かれています。 (1) $log(1+x)$ のマクローリン展開を用いて、$log(1+x^2)$ をべき級数として表す。 (2) $\cos x$ のマクローリン展開と(1)の結果を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\log(1+x^2)}$ を求める。 (3) (2)の極限をロピタルの定理を用いて求める。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

(1) $log(1+x)$ のマクローリン展開を用いて、$log(1+x^2)$ をべき級数として表す。

(2) $\cos x$ のマクローリン展開と(1)の結果を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\log(1+x^2)}$ を求める。

(3) (2)の極限をロピタルの定理を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1) $log(1+x)$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

この $x$ を $x^2$ で置き換えることで、$log(1+x^2)$ のマクローリン展開が得られます。

$log(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + \dots$

(2) $\cos x$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

$\cos x - 1 = - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

したがって、

$\frac{\cos x - 1}{\log(1+x^2)} = \frac{- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \dots}{x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \dots} = \frac{x^2(-\frac{1}{2} + \frac{x^2}{24} - \frac{x^4}{720} + \dots)}{x^2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{3} - \dots)}$

$x \to 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\log(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2} + \frac{x^2}{24} - \frac{x^4}{720} + \dots}{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{3} - \dots} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$

(3) ロピタルの定理を用いて極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\log(1+x^2)}$

分子と分母を微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\frac{2x}{1+x^2}}$

分子と分母をさらに微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{\frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{\frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x (1+x^2)^2}{2-2x^2}$

$x \to 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x (1+x^2)^2}{2-2x^2} = \frac{-1(1)^2}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $log(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + \dots$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $-\frac{1}{2}$