与えられた2つの関数 $f(x, y)$ について、原点 $(0, 0)$ での連続性を調べます。 (1) $f(x, y) = \frac{x^3 - y^2}{2x - y}$ (2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ (ただし、$(x, y) \neq (0, 0)$)、$f(0, 0) = 0$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x, y)$ について、原点 $(0, 0)$ での連続性を調べます。

(1) $f(x, y) = \frac{x^3 - y^2}{2x - y}$

(2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ (ただし、$(x, y) \neq (0, 0)$)、$f(0, 0) = 0$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = \frac{x^3 - y^2}{2x - y}$ の場合

$y = 2x$ に沿って $(0, 0)$ に近づくと、分母は0に近づきます。

$y = x$ に沿って近づくと、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - x^2}{2x - x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(x - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} x(x - 1) = 0$

$y = x^2$ に沿って近づくと、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - x^4}{2x - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3(1 - x)}{x(2 - x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 - x)}{2 - x} = 0$

もし$y = ax$ に沿って近づくと、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 - a^2x^2}{2x - ax} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(x - a^2)}{x(2 - a)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x - a^2)}{2 - a} = 0$ (ただし$a \neq 2$)

$2x - y = 0$ すなわち、$y = 2x$ に沿って $(0, 0)$ に近づけると、関数は定義されないので、$(0,0)$ で不連続です。

(2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ の場合

原点 $(0, 0)$ での連続性を調べるために、極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

$f(x, y) = \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)^2}{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} = \frac{r^3\cos\theta\sin^2\theta}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = r\cos\theta\sin^2\theta$

したがって、

$|f(x, y) - f(0, 0)| = |r\cos\theta\sin^2\theta - 0| = |r\cos\theta\sin^2\theta| \le |r|$

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ なので、$(x, y) \to (0, 0)$ のとき $r \to 0$ となります。したがって、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0 = f(0, 0)$。

よって、$f(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y) = \frac{x^3 - y^2}{2x - y}$ は $(0,0)$ で不連続。

(2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ は $(0,0)$ で連続。