与えられた関数のグラフ上の点における接線の方程式を求める問題です。具体的には以下の4つの問題があります。 (1) $y = 2x^2 - 4$、点 $(1, -2)$ (2) $y = 2x^2 - 4x + 1$、点 $(0, 1)$ (3) $y = 5x - x^3$、点 $(2, 2)$ (4) $y = x^3 - 3x$、点 $(1, -2)$

1. 問題の内容

与えられた関数のグラフ上の点における接線の方程式を求める問題です。具体的には以下の4つの問題があります。

(1) $y = 2x^2 - 4$、点 $(1, -2)$

(2) $y = 2x^2 - 4x + 1$、点 $(0, 1)$

(3) $y = 5x - x^3$、点 $(2, 2)$

(4) $y = x^3 - 3x$、点 $(1, -2)$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で接線の方程式を求めます。

(1) 微分して導関数 $y'$ を求めます。

(2) 与えられた点の $x$ 座標を $y'$ に代入し、その点における接線の傾き $m$ を求めます。

(3) 接線の公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ に、与えられた点の座標 $(x_1, y_1)$ と求めた傾き $m$ を代入し、接線の方程式を求めます。

**(1) $y = 2x^2 - 4$、点 $(1, -2)$**

(1) $y' = 4x$

(2) $x=1$ を代入すると、$y'(1) = 4 \cdot 1 = 4$。よって、$m = 4$

(3) 接線の方程式は、$y - (-2) = 4(x - 1)$。整理すると、$y + 2 = 4x - 4$ より、$y = 4x - 6$

**(2) $y = 2x^2 - 4x + 1$、点 $(0, 1)$**

(1) $y' = 4x - 4$

(2) $x=0$ を代入すると、$y'(0) = 4 \cdot 0 - 4 = -4$。よって、$m = -4$

(3) 接線の方程式は、$y - 1 = -4(x - 0)$。整理すると、$y - 1 = -4x$ より、$y = -4x + 1$

**(3) $y = 5x - x^3$、点 $(2, 2)$**

(1) $y' = 5 - 3x^2$

(2) $x=2$ を代入すると、$y'(2) = 5 - 3 \cdot 2^2 = 5 - 12 = -7$。よって、$m = -7$

(3) 接線の方程式は、$y - 2 = -7(x - 2)$。整理すると、$y - 2 = -7x + 14$ より、$y = -7x + 16$

**(4) $y = x^3 - 3x$、点 $(1, -2)$**

(1) $y' = 3x^2 - 3$

(2) $x=1$ を代入すると、$y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 3 - 3 = 0$。よって、$m = 0$

(3) 接線の方程式は、$y - (-2) = 0(x - 1)$。整理すると、$y + 2 = 0$ より、$y = -2$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x - 6$

(2) $y = -4x + 1$

(3) $y = -7x + 16$

(4) $y = -2$