$\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ を求めます。

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ ($n$ は整数) です。

$\cos x$ は $x$ が増加するにつれて、区間 $[0, \pi]$ では減少します。したがって、$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$x$ が $\frac{\pi}{6}$ より大きいか、 $-\frac{\pi}{6}$ より小さいときです。つまり、

$\frac{\pi}{6} < x < 2\pi - \frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} + 2n\pi < x < \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$

この問題では、$x = \theta - \frac{\pi}{3}$ なので、

$\frac{\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{11\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{6} < \theta < \frac{13\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{13\pi}{6}$

一般解を求めるために、 $2n\pi$ を加えます。

$\frac{\pi}{2} + 2n\pi < \theta < \frac{13\pi}{6} + 2n\pi$

ただし、$\theta$ の範囲を $0 \le \theta < 2\pi$ と制限すると、

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{13\pi}{6}$ は $\frac{\pi}{2} < \theta < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ ですから、

$\frac{\pi}{2} < \theta < 2\pi$ と $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ に分解できます。

$\frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}+2\pi$ となることに注意すると、

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{13\pi}{6} = \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{6} + 2\pi$

$\frac{\pi}{2} < \theta < 2\pi + \frac{\pi}{6}$.

$2\pi$ を引くと $\frac{\pi}{2} < \theta < 2\pi$ が得られます。

よって$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{13\pi}{6}$.

範囲を $0 \le \theta < 2\pi$ に制限すると、

$\frac{\pi}{2} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{13\pi}{6}$

範囲を $0 \le \theta < 2\pi$ に制限すると $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{6} + 2\pi$

$\frac{\pi}{2} < \theta < 2\pi$