与えられた複素関数に対して、指定された積分路 $C$ に沿った周回積分の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた複素関数に対して、指定された積分路 $C$ に沿った周回積分の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

以下、問題の番号順に解き方を説明します。

(1) $\oint_C \frac{1}{z^4-1} dz$, $C = \{z \mid |z-i|=1\}$

被積分関数を部分分数分解します。

$z^4-1 = (z-1)(z+1)(z-i)(z+i)$。積分路$C$は$z=i$を中心とした半径1の円なので、$z=i$のみが積分路の内部にあります。

留数定理を使うことを考えます。$f(z) = \frac{1}{z^4-1} = \frac{1}{(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)}$の$z=i$における留数は、$\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z-i) f(z) = \frac{1}{(i-1)(i+1)(2i)} = \frac{1}{(-2)(2i)} = \frac{1}{-4i} = \frac{i}{4}$

したがって、$\oint_C \frac{1}{z^4-1} dz = 2\pi i \cdot \frac{i}{4} = -\frac{\pi}{2}$

(2) $\oint_C \frac{\sin(\pi z)}{z(4z-1)} dz$, $C = \{z \mid |z|=1\}$

被積分関数は$z=0$と$z=\frac{1}{4}$に極を持ち、どちらも積分路の内部にあります。$f(z) = \frac{\sin(\pi z)}{z(4z-1)}$とします。

$z=0$での留数は$\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\sin(\pi z)}{4z-1} = \frac{\sin(0)}{-1} = 0$

$z=\frac{1}{4}$での留数は$\text{Res}(f, \frac{1}{4}) = \lim_{z \to \frac{1}{4}} (z-\frac{1}{4}) f(z) = \lim_{z \to \frac{1}{4}} \frac{\sin(\pi z)}{4z} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{4 \cdot \frac{1}{4}} = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\oint_C \frac{\sin(\pi z)}{z(4z-1)} dz = 2\pi i (0 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \pi i$

(3) $\oint_C \frac{1}{z^2-i} dz$, $C = \{z \mid |z-1|=1\}$

$z^2-i = 0$の解は$z = \pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$です。$z_1 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$、$z_2 = -\frac{1+i}{\sqrt{2}}$とします。

$|z_1 - 1| = |\frac{1+i}{\sqrt{2}} - 1| = |\frac{1-\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}}| = \sqrt{\frac{(1-\sqrt{2})^2 + 1}{2}} = \sqrt{\frac{1-2\sqrt{2}+2+1}{2}} = \sqrt{2-\sqrt{2}} <

1. $なので、$z_1$は積分路の内部にあります。

$|z_2 - 1| = |-\frac{1+i}{\sqrt{2}} - 1| = |-\frac{1+\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}}| = \sqrt{\frac{(1+\sqrt{2})^2 + 1}{2}} = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}+2+1}{2}} = \sqrt{2+\sqrt{2}} >

1. $なので、$z_2$は積分路の外部にあります。

$f(z) = \frac{1}{z^2-i} = \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}$の$z_1$における留数は、$\text{Res}(f, z_1) = \lim_{z \to z_1} (z-z_1) f(z) = \frac{1}{z_1 - z_2} = \frac{1}{\frac{2(1+i)}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2(1+i)} = \frac{\sqrt{2}(1-i)}{2(1+1)} = \frac{\sqrt{2}(1-i)}{4}$

したがって、$\oint_C \frac{1}{z^2-i} dz = 2\pi i \cdot \frac{\sqrt{2}(1-i)}{4} = \frac{\pi \sqrt{2} i (1-i)}{2} = \frac{\pi \sqrt{2} (1+i)}{2}$

(4) $\oint_C \tan(z) dz$, $C = \{z \mid |z|=2\}$

$\tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)}$であり、$\cos(z) = 0$となるのは$z = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$は整数)のときです。

$|z| = 2$の内部にある極は$z = \pm \frac{\pi}{2}$のみです。

$\tan(z)$の$\frac{\pi}{2}$における留数は、$\lim_{z \to \frac{\pi}{2}} (z-\frac{\pi}{2}) \frac{\sin(z)}{\cos(z)} = \lim_{z \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(z)}{\frac{\cos(z) - \cos(\frac{\pi}{2})}{z-\frac{\pi}{2}}} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{-\sin(\frac{\pi}{2})} = -1$

$\tan(z)$の$-\frac{\pi}{2}$における留数は、$\lim_{z \to -\frac{\pi}{2}} (z+\frac{\pi}{2}) \frac{\sin(z)}{\cos(z)} = \lim_{z \to -\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(z)}{\frac{\cos(z) - \cos(-\frac{\pi}{2})}{z+\frac{\pi}{2}}} = \frac{\sin(-\frac{\pi}{2})}{-\sin(-\frac{\pi}{2})} = -1$

したがって、$\oint_C \tan(z) dz = 2\pi i (-1 - 1) = -4\pi i$

(5) $\oint_C \frac{\sin(z)}{2z-\pi} dz$, $C = \{z \mid |z|=2\}$

$2z-\pi = 0$となるのは$z = \frac{\pi}{2}$のときです。$|z|=2$の内部にあります。

$\oint_C \frac{\sin(z)}{2z-\pi} dz = \oint_C \frac{\sin(z)}{2(z-\frac{\pi}{2})} dz = \frac{1}{2} \oint_C \frac{\sin(z)}{z-\frac{\pi}{2}} dz$

留数定理より、$\frac{1}{2} \oint_C \frac{\sin(z)}{z-\frac{\pi}{2}} dz = \frac{1}{2} \cdot 2\pi i \sin(\frac{\pi}{2}) = \pi i$

(6) $\oint_C \frac{1}{z^2+4} dz$, $C = \{z \mid |z-2i|=2\}$

$z^2+4 = (z-2i)(z+2i)$。$z = 2i$と$z = -2i$に極を持ちます。

$|2i - 2i| = 0 < 2$なので、$z=2i$は積分路の内部にあります。

$|-2i - 2i| = |-4i| = 4 > 2$なので、$z=-2i$は積分路の外部にあります。

したがって、$\oint_C \frac{1}{z^2+4} dz = \oint_C \frac{1}{(z-2i)(z+2i)} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 2i) = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i+2i} = 2\pi i \cdot \frac{1}{4i} = \frac{\pi}{2}$

(7) $\oint_C \frac{dz}{\sin(z)}$, $C$は原点を中心とする半径$\frac{3\pi}{2}$の円

$\sin(z)$の零点は$z=n\pi$ ($n$は整数)。

$|z| = \frac{3\pi}{2}$の内部にある零点は、$z = -\pi, 0, \pi$。したがって、$f(z) = \frac{1}{\sin(z)}$は$z = -\pi, 0, \pi$に極を持ちます。

留数は、$\text{Res}(f, -\pi) = \lim_{z \to -\pi} \frac{z+\pi}{\sin(z)} = \lim_{z \to -\pi} \frac{1}{\cos(z)} = -1$

$\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin(z)} = 1$

$\text{Res}(f, \pi) = \lim_{z \to \pi} \frac{z-\pi}{\sin(z)} = \lim_{z \to \pi} \frac{1}{\cos(z)} = -1$

したがって、$\oint_C \frac{dz}{\sin(z)} = 2\pi i (-1 + 1 - 1) = -2\pi i$

(8) $\oint_C \frac{\sin(\pi z)}{z(2z+1)(4z-3)} dz$, $C = \{z \mid |z|=1\}$

$z=0$, $z=-\frac{1}{2}$, $z=\frac{3}{4}$に極があります。$|z|=1$の内部にすべて含まれます。

$f(z) = \frac{\sin(\pi z)}{z(2z+1)(4z-3)}$

$\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{\sin(\pi z)}{(2z+1)(4z-3)} = \frac{0}{-3} = 0$

$\text{Res}(f, -\frac{1}{2}) = \lim_{z \to -\frac{1}{2}} \frac{(z+\frac{1}{2})\sin(\pi z)}{z(2z+1)(4z-3)} = \lim_{z \to -\frac{1}{2}} \frac{\sin(\pi z)}{2z(4z-3)} = \frac{\sin(-\frac{\pi}{2})}{2(-\frac{1}{2})(-2-3)} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$

$\text{Res}(f, \frac{3}{4}) = \lim_{z \to \frac{3}{4}} \frac{(z-\frac{3}{4})\sin(\pi z)}{z(2z+1)(4z-3)} = \lim_{z \to \frac{3}{4}} \frac{\sin(\pi z)}{4z(2z+1)} = \frac{\sin(\frac{3\pi}{4})}{4(\frac{3}{4})(\frac{3}{2}+1)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{3 \cdot \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{15}$

したがって、$\oint_C \frac{\sin(\pi z)}{z(2z+1)(4z-3)} dz = 2\pi i (0 - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{2}}{15}) = 2\pi i (\frac{\sqrt{2}-3}{15}) = \frac{2(\sqrt{2}-3)\pi i}{15}$

(9) $\oint_C \frac{z-2}{(z+1)^2 z} dz$, $C = \{z \mid |z|=2\}$

$z=-1$ (2位の極) と $z=0$に極があります。$|z|=2$の内部にすべて含まれます。

$f(z) = \frac{z-2}{(z+1)^2 z}$

$\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z f(z) = \lim_{z \to 0} \frac{z-2}{(z+1)^2} = \frac{-2}{1} = -2$

$\text{Res}(f, -1) = \lim_{z \to -1} \frac{d}{dz} (z+1)^2 f(z) = \lim_{z \to -1} \frac{d}{dz} \frac{z-2}{z} = \lim_{z \to -1} \frac{z - (z-2)}{z^2} = \lim_{z \to -1} \frac{2}{z^2} = 2$

したがって、$\oint_C \frac{z-2}{(z+1)^2 z} dz = 2\pi i (-2+2) = 0$

(10) $\oint_C \frac{e^{iz}}{\tan(z)} dz$, $C = \{z \mid |z|=1\}$

$\tan(z)$の零点は$z=0$。したがって$\frac{1}{\tan(z)}$は$z=0$に極を持ちます。

$\oint_C \frac{e^{iz}}{\tan(z)} dz = 2\pi i \lim_{z \to 0} \frac{ze^{iz} \cos(z)}{\sin(z)} = 2\pi i \lim_{z \to 0} e^{iz} \cos(z) \lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin(z)} = 2\pi i (1)(1) = 2\pi i$

(11) $\oint_C \frac{z^2}{z^4+1} dz$, $C$ は問題文の図の積分路

$z^4+1 = 0$となるのは、$z = e^{\frac{i(\pi+2k\pi)}{4}}$ ($k=0,1,2,3$)。つまり、$z = e^{\frac{i\pi}{4}}$, $e^{\frac{3i\pi}{4}}$, $e^{\frac{5i\pi}{4}}$, $e^{\frac{7i\pi}{4}}$

$z_1 = e^{\frac{i\pi}{4}} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$は積分路の内側にあります。$z_2 = e^{\frac{3i\pi}{4}} = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}$は積分路の外側にあります。

$z_3 = e^{\frac{7i\pi}{4}} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$は積分路の内側にあります。$z_4 = e^{\frac{5i\pi}{4}} = \frac{-1-i}{\sqrt{2}}$は積分路の外側にあります。

$f(z) = \frac{z^2}{z^4+1}$

$\text{Res}(f, \frac{1+i}{\sqrt{2}}) = \lim_{z \to \frac{1+i}{\sqrt{2}}} \frac{z^2 (z-\frac{1+i}{\sqrt{2}})}{z^4+1} = \lim_{z \to \frac{1+i}{\sqrt{2}}} \frac{z^2}{4z^3} = \frac{(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^2}{4(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^3} = \frac{1}{4 \frac{1+i}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{4(1+i)} = \frac{\sqrt{2}(1-i)}{8}$

$\text{Res}(f, \frac{1-i}{\sqrt{2}}) = \lim_{z \to \frac{1-i}{\sqrt{2}}} \frac{z^2 (z-\frac{1-i}{\sqrt{2}})}{z^4+1} = \lim_{z \to \frac{1-i}{\sqrt{2}}} \frac{z^2}{4z^3} = \frac{(\frac{1-i}{\sqrt{2}})^2}{4(\frac{1-i}{\sqrt{2}})^3} = \frac{1}{4 \frac{1-i}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{4(1-i)} = \frac{\sqrt{2}(1+i)}{8}$

$\oint_C \frac{z^2}{z^4+1} dz = \int_{-2}^{2} \frac{x^2}{x^4+1} dx + \int_{C'} \frac{z^2}{z^4+1} dz = 2\pi i (\frac{\sqrt{2}(1-i)}{8} + \frac{\sqrt{2}(1+i)}{8}) = 2\pi i \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\pi i \sqrt{2}}{2}$.

半円の積分路を$C'$とすると、$\lim_{R \to \infty} \int_{C'} f(z) dz = 0$.

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$。

したがって、$\oint_C \frac{z^2}{z^4+1} dz = \pi i * (\frac{\sqrt{2}}{8} (1-i) + \frac{\sqrt{2}}{8}(1+i)) = \frac{\pi \sqrt{2}i}{4}$

(12) $\oint_C \frac{\tan(z)}{z} dz$, $C = \{z \mid |z-1|=2\}$

被積分関数$f(z) = \frac{\tan(z)}{z} = \frac{\sin(z)}{z \cos(z)}$

$z=0$と$\cos(z)=0$すなわち$z=\frac{\pi}{2} + n \pi$に極があります。

$|0-1|=1<2$なので、$z=0$は積分路の内部にあります。

$|\frac{\pi}{2}-1| \approx 0.57 < 2$なので、$z=\frac{\pi}{2}$は積分路の内部にあります。

$|-\frac{\pi}{2}-1| \approx 2.57>2$なので、$z=-\frac{\pi}{2}$は積分路の外部にあります。

$f(z) = \frac{\tan(z)}{z}$の$z=0$における留数は、$\lim_{z \to 0} z \frac{\tan(z)}{z} = \lim_{z \to 0} \tan(z) = 0$

$f(z) = \frac{\tan(z)}{z}$の$z=\frac{\pi}{2}$における留数は、$\lim_{z \to \frac{\pi}{2}} (z-\frac{\pi}{2}) \frac{\tan(z)}{z} = \lim_{z \to \frac{\pi}{2}} (z-\frac{\pi}{2}) \frac{\sin(z)}{z \cos(z)} = \lim_{z \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(z)}{z} \cdot \lim_{z \to \frac{\pi}{2}} \frac{z-\frac{\pi}{2}}{\cos(z)} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} \cdot \lim_{z \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{-\sin(z)} = \frac{2}{\pi}(-1) = -\frac{2}{\pi}$

したがって、$\oint_C \frac{\tan(z)}{z} dz = 2\pi i (0-\frac{2}{\pi}) = -4i$

(13) $\oint_C \frac{z-1}{z^2+2z+2} dz$, $C = \{z \mid |z+1-i|=1\}$

$z^2+2z+2=0$の解は$z = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = -1 \pm i$.

$|-1+i-(-1+i)|=0<1$なので、$z_1 = -1+i$は積分路の内部にあります。

$|-1-i-(-1+i)|=|-2i|=2>1$なので、$z_2 = -1-i$は積分路の外部にあります。

$\frac{z-1}{z^2+2z+2} = \frac{z-1}{(z-(-1+i))(z-(-1-i))}$

$\text{Res}(f, -1+i) = \lim_{z \to -1+i} \frac{(z-(-1+i))(z-1)}{(z-(-1+i))(z-(-1-i))} = \lim_{z \to -1+i} \frac{z-1}{z+1+i} = \frac{-1+i-1}{-1+i+1+i} = \frac{-2+i}{2i} = \frac{(-2+i)(-2i)}{4} = \frac{4i+2}{4} = \frac{1+2i}{2}$

$\oint_C \frac{z-1}{z^2+2z+2} dz = 2\pi i (\frac{1+2i}{2}) = \pi i(1+2i) = \pi i - 2\pi = -\pi(2-i)$

(14) $\oint_C \frac{z \sin(z)}{(z-i)^2} dz$, $C = \{z \mid |z-i|=1\}$

$z=i$は2位の極。

$f(z) = \frac{z \sin(z)}{(z-i)^2}$

$\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} (z-i)^2 f(z) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} z \sin(z) = \lim_{z \to i} \sin(z) + z \cos(z) = \sin(i) + i \cos(i)$.

$\sin(i) = \frac{e^{-1}-e}{2i} = i \sinh(1)$。$\cos(i) = \frac{e^{-1}+e}{2} = \cosh(1)$

$\oint_C \frac{z \sin(z)}{(z-i)^2} dz = 2\pi i (\sin(i) + i \cos(i)) = 2\pi i (i \sinh(1) + i \cosh(1)) = 2\pi i^2 (\sinh(1) + \cosh(1)) = -2\pi e$

(15) $\oint_C \frac{1}{(z^2+4)^2} dz$, $C = \{z \mid |z-2i|=2\}$

$z^2+4 = (z-2i)(z+2i)$. $f(z) = \frac{1}{(z-2i)^2 (z+2i)^2}$. $z=2i$ (2位の極) と $z=-2i$ (2位の極)

$|2i-2i|=0 < 2$なので、$z=2i$は積分路の内部にあります。

$|-2i-2i|=4>2$なので、$z=-2i$は積分路の外部にあります。

$\text{Res}(f, 2i) = \lim_{z \to 2i} \frac{d}{dz} (z-2i)^2 f(z) = \lim_{z \to 2i} \frac{d}{dz} \frac{1}{(z+2i)^2} = \lim_{z \to 2i} -2 (z+2i)^{-3} = \frac{-2}{(4i)^3} = \frac{-2}{-64i} = \frac{1}{32i} = -\frac{i}{32}$

$\oint_C \frac{1}{(z^2+4)^2} dz = 2\pi i (-\frac{i}{32}) = \frac{2\pi}{32} = \frac{\pi}{16}$

(16) $\oint_C \frac{z^2}{(z^2+1)(z+1)^2} dz$, $C = \{z \mid |z|=2\}$

$f(z) = \frac{z^2}{(z-i)(z+i)(z+1)^2}$. $z=i, z=-i, z=-1$は積分路の内部にあります。

$\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} \frac{z^2}{(z+i)(z+1)^2} = \frac{-1}{2i(i+1)^2} = \frac{-1}{2i (2i)} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

$\text{Res}(f, -i) = \lim_{z \to -i} \frac{z^2}{(z-i)(z+1)^2} = \frac{-1}{(-2i)(-i+1)^2} = \frac{-1}{(-2i)(-2i)} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

$\text{Res}(f, -1) = \lim_{z \to -1} \frac{d}{dz} \frac{z^2}{(z^2+1)} = \lim_{z \to -1} \frac{2z(z^2+1)-z^2(2z)}{(z^2+1)^2} = \lim_{z \to -1} \frac{2z^3+2z-2z^3}{(z^2+1)^2} = \lim_{z \to -1} \frac{2z}{(z^2+1)^2} = \frac{-2}{(1+1)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$\oint_C \frac{z^2}{(z^2+1)(z+1)^2} dz = 2\pi i (\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\pi}{2}$

(2) $\sqrt{2}\pi i$

(3) $\frac{\pi\sqrt{2}(1+i)}{2}$

(4) $-4\pi i$

(5) $\pi i$

(6) $\frac{\pi}{2}$

(7) $-2\pi i$

(8) $\frac{2(\sqrt{2}-3)\pi i}{15}$

(9) $0$

(10) $2\pi i$

(11) $\frac{\pi i \sqrt{2}}{4}$

(12) $-4i$

(13) $-\pi(2-i)$

(14) $-2\pi e$

(15) $\frac{\pi}{16}$

(16) $0$