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与えられた不等式は $\tan\theta + 1 < 0$ である。この不等式を満たす $\theta$ の範囲を求める。

解析学三角関数不等式tanθの範囲
2025/6/24

1. 問題の内容

与えられた不等式は tan⁡θ+1<0\tan\theta + 1 < 0 である。この不等式を満たす θ\theta の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を tan⁡θ\tan\theta について解く。
tan⁡θ+1<0\tan\theta + 1 < 0
tan⁡θ<−1\tan\theta < -1
次に、単位円を考える。tan⁡θ\tan\theta は単位円上の点 (x,y)(x, y) に対して y/xy/x で与えられる。tan⁡θ<−1\tan\theta < -1 となるのは、第2象限と第4象限において、直線 y=−xy = -x よりも下の部分に対応する。
具体的に θ\theta の範囲を求める。tan⁡θ=−1\tan\theta = -1 となる θ\theta の値は θ=3π4+nπ\theta = \frac{3\pi}{4} + n\pi （nnは整数）である。
tan⁡θ<−1\tan\theta < -1 となる θ\theta の範囲は
π2+nπ<θ<3π4+nπ\frac{\pi}{2} + n\pi < \theta < \frac{3\pi}{4} + n\pi (nnは整数)である。

3. 最終的な答え

π2+nπ<θ<3π4+nπ\frac{\pi}{2} + n\pi < \theta < \frac{3\pi}{4} + n\pi (nnは整数)

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