与えられた極限を計算する問題です。具体的には、 $$ \lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|} $$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。具体的には、

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\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}

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を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値を含む関数の極限を計算する際は、左側極限と右側極限をそれぞれ計算して、それらが一致するかどうかを確認します。

(i) $x \to -1^+$ (右側極限) のとき、$x > -1$ なので、$x+1 > 0$。したがって、$|x+1| = x+1$ となります。

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\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{|x+1|} = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x+1}

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$x$ が $-1$ に近づくと、$x+1$ は $0$ に正の方向から近づくので、$\frac{1}{x+1}$ は正の無限大に発散します。

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\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x+1} = +\infty

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(ii) $x \to -1^-$ (左側極限) のとき、$x < -1$ なので、$x+1 < 0$。したがって、$|x+1| = -(x+1)$ となります。

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\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{|x+1|} = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{-(x+1)} = \lim_{x \to -1^-} \frac{-1}{x+1}

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$x$ が $-1$ に近づくと、$x+1$ は $0$ に負の方向から近づくので、$\frac{-1}{x+1}$ は正の無限大に発散します。

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\lim_{x \to -1^-} \frac{-1}{x+1} = +\infty

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左右の極限がともに $+\infty$ に発散するので、極限は $+\infty$ に発散します。

3. 最終的な答え

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\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|} = +\infty

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