与えられた定積分の計算を行います。 $\int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 1)dx - \int_{0}^{4} (3x^2 - 2x + 1)dx$

解析学定積分積分計算不定積分

2025/6/24

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算を行います。

\int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 1)dx - \int_{0}^{4} (3x^2 - 2x + 1)dx

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

\int (3x^2 - 2x + 1) dx = x^3 - x^2 + x + C

次に、それぞれの定積分を計算します。

\int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 1) dx = [x^3 - x^2 + x]_{1}^{4} = (4^3 - 4^2 + 4) - (1^3 - 1^2 + 1) = (64 - 16 + 4) - (1 - 1 + 1) = 52 - 1 = 51

\int_{0}^{4} (3x^2 - 2x + 1) dx = [x^3 - x^2 + x]_{0}^{4} = (4^3 - 4^2 + 4) - (0^3 - 0^2 + 0) = (64 - 16 + 4) - 0 = 52

したがって、

\int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 1)dx - \int_{0}^{4} (3x^2 - 2x + 1)dx = 51 - 52 = -1

別の解法として、積分の性質を用いることもできます。

\int_{a}^{b} f(x)dx - \int_{c}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx

したがって、

\int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 1)dx - \int_{0}^{4} (3x^2 - 2x + 1)dx = \int_{1}^{0} (3x^2 - 2x + 1)dx = -\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1)dx

\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1)dx = [x^3 - x^2 + x]_{0}^{1} = (1^3 - 1^2 + 1) - (0^3 - 0^2 + 0) = 1 - 1 + 1 = 1

よって、

-\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1)dx = -1

3. 最終的な答え

-1

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