$log|y|$ の導関数を利用して、次の関数を微分する問題です。今回は問題(2)を解きます。 $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

1. 問題の内容

$log|y|$ の導関数を利用して、次の関数を微分する問題です。今回は問題(2)を解きます。

$y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

2. 解き方の手順

まず、$|y|$ の自然対数をとります。

$log|y| = log|\frac{\sqrt{x+2}}{x+1}| = log|\sqrt{x+2}| - log|x+1| = \frac{1}{2}log|x+2| - log|x+1|$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y (\frac{1}{2(x+2)} - \frac{1}{x+1})$

$y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1} (\frac{1}{2(x+2)} - \frac{1}{x+1})$

通分して計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1} (\frac{x+1 - 2(x+2)}{2(x+2)(x+1)})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1} (\frac{x+1 - 2x - 4}{2(x+2)(x+1)})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1} (\frac{-x-3}{2(x+2)(x+1)})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1} (\frac{-(x+3)}{2(x+2)(x+1)})$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{(x+3)\sqrt{x+2}}{2(x+1)^2(x+2)}$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{x+3}{2(x+1)^2 \sqrt{x+2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = - \frac{x+3}{2(x+1)^2 \sqrt{x+2}}$