$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ と $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ (2) $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、$\cos \theta - \sin \theta$

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $\sin \theta \cos \theta$ と $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

(2) $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、$\cos \theta - \sin \theta$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(\sin \theta + \cos \theta)^2$ を展開します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$\frac{3}{4} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$

次に、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ を計算します。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$ を代入すると、

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - (-\frac{1}{8})) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 + \frac{1}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{9}{8} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$

(2)

$(\cos \theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta - 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$ を代入すると、

$(\cos \theta - \sin \theta)^2 = 1 - 2(-\frac{1}{8}) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$\cos \theta - \sin \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{4}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、$\cos \theta < 0$ かつ $\sin \theta > 0$ であるから、$\cos \theta - \sin \theta < 0$ となります。

したがって、$\cos \theta - \sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$, $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{9\sqrt{3}}{16}$

(2) $\cos \theta - \sin \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$