以下の極限を計算します。 (a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x+4}{x^2+16}$ (b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x}{x^2-4}$ (c) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+3x+2}{x^2+5}$ (d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x+4}{x^2+16}$ (e) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-11x+6}{2x^2-11x+15}$ (f) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x-3}{x^2-x-6}$ (g) $\lim_{x \to \infty} \log_2 \frac{4x^2+2}{x^2+5}$ (h) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+2}}{5x}$ (i) $\lim_{x \to \infty} x \tan \frac{1}{x}$ (j) $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{3}{x}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

(a) $\lim_{x \to \infty} \frac{x+4}{x^2+16}$

(b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x}{x^2-4}$

(c) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+3x+2}{x^2+5}$

(d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x+4}{x^2+16}$

(e) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-11x+6}{2x^2-11x+15}$

(f) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x-3}{x^2-x-6}$

(g) $\lim_{x \to \infty} \log_2 \frac{4x^2+2}{x^2+5}$

(h) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+2}}{5x}$

(i) $\lim_{x \to \infty} x \tan \frac{1}{x}$

(j) $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{3}{x}$

2. 解き方の手順

(a) 分母の最高次である$x^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x+4}{x^2+16} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{16}{x^2}} = \frac{0+0}{1+0} = 0$

(b) 分母の最高次である$x^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x}{x^2-4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{2}{x}}{1-\frac{4}{x^2}} = \frac{1+0}{1-0} = 1$

(c) 分母の最高次である$x^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+3x+2}{x^2+5} = \lim_{x \to \infty} \frac{4+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{5}{x^2}} = \frac{4+0+0}{1+0} = 4$

(d) 分母の最高次である$x^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x+4}{x^2+16} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{16}{x^2}} = \frac{0+0}{1+0} = 0$

(e) 分母の最高次である$x^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-11x+6}{2x^2-11x+15} = \lim_{x \to \infty} \frac{3-\frac{11}{x}+\frac{6}{x^2}}{2-\frac{11}{x}+\frac{15}{x^2}} = \frac{3-0+0}{2-0+0} = \frac{3}{2}$

(f) 分母の最高次である$x^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x-3}{x^2-x-6} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}} = \frac{1-0-0}{1-0-0} = 1$

(g) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+2}{x^2+5} = \lim_{x \to \infty} \frac{4+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{5}{x^2}} = \frac{4+0}{1+0} = 4$

$\lim_{x \to \infty} \log_2 \frac{4x^2+2}{x^2+5} = \log_2 4 = 2$

(h) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+2}}{5x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x^2})}}{5x} = \lim_{x \to \infty} \frac{|x|\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{5x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{5x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{5} = \frac{\sqrt{1+0}}{5} = \frac{1}{5}$

(i) $t = \frac{1}{x}$と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$

$\lim_{x \to \infty} x \tan \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1$

(j) $t = \frac{3}{x}$と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$

$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{3}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{3}{t} \sin t = 3 \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 3(1) = 3$

3. 最終的な答え

(a) 0

(b) 1

(c) 4

(d) 0

(e) 3/2

(f) 1

(g) 2

(h) 1/5

(i) 1

(j) 3