与えられた定積分 $\int_{0}^{1} x e^{-x^2} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{1} x e^{-x^2} dx$

を計算してください。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、置換積分法を使います。

まず、$u = -x^2$ と置きます。

すると、$du = -2x dx$ となります。

したがって、$x dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

次に、積分範囲を変更します。

$x = 0$ のとき、$u = -0^2 = 0$ です。

$x = 1$ のとき、$u = -1^2 = -1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} x e^{-x^2} dx = \int_{0}^{-1} e^u (-\frac{1}{2}) du$

$= -\frac{1}{2} \int_{0}^{-1} e^u du$

$= \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^u du$

ここで、$e^u$ の積分は $e^u$ です。

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_{-1}^{0}$

$= \frac{1}{2} (e^0 - e^{-1})$

$= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{e})$

$= \frac{1}{2} (\frac{e-1}{e})$

$= \frac{e-1}{2e}$

3. 最終的な答え

$\frac{e-1}{2e}$