放物線 $y=x^2+4$ 上の点Pにおける接線と放物線 $y=x^2$ で囲まれた図形の面積が、点Pの選び方によらず一定であることを示す問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2+4$ 上の点Pにおける接線と放物線 $y=x^2$ で囲まれた図形の面積が、点Pの選び方によらず一定であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

* 点Pの座標を $(t, t^2+4)$ とします。

* 放物線 $y=x^2+4$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = 2x$

* 点Pにおける接線の傾きは $2t$ となります。

* 点Pにおける接線の方程式を求めます。

$y - (t^2+4) = 2t(x-t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2 + 4$

$y = 2tx - t^2 + 4$

* 接線と放物線 $y=x^2$ の交点のx座標を求めます。

$x^2 = 2tx - t^2 + 4$

$x^2 - 2tx + t^2 - 4 = 0$

$(x-t)^2 = 4$

$x-t = \pm 2$

$x = t \pm 2$

交点のx座標は $t-2$ と $t+2$

* 囲まれた図形の面積Sを求めます。

$S = \int_{t-2}^{t+2} (2tx - t^2 + 4 - x^2) dx$

$S = \int_{t-2}^{t+2} (-x^2 + 2tx - t^2 + 4) dx$

$S = \int_{t-2}^{t+2} (-(x-t)^2 + 4) dx$

$x-t = u$ と置換すると、$dx = du$, $x=t-2$ のとき $u=-2$, $x=t+2$ のとき $u=2$.

$S = \int_{-2}^{2} (-u^2 + 4) du$

$S = [-\frac{1}{3}u^3 + 4u]_{-2}^{2}$

$S = (-\frac{8}{3} + 8) - (\frac{8}{3} - 8)$

$S = -\frac{16}{3} + 16$

$S = \frac{-16+48}{3} = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$