関数 $f(x) = x^2 + 2(x - 2|x|) + 2$ について、以下の問題を解く。 (1) $y=f(x)$ のグラフの概形を求める。 (2) $y=f(x)$ と $y$ 軸の交点を $A$ とする。点 $A$ を通り傾き $m$ の直線を $l$ とする。$l$ が $y=f(x)$ と異なる3点で交わるとき、$m$ の範囲を求める。さらに、$l$ と $y=f(x)$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $T$ を $m$ の式で表し、$T$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2(x - 2|x|) + 2$ について、以下の問題を解く。

(1) $y=f(x)$ のグラフの概形を求める。

(2) $y=f(x)$ と $y$ 軸の交点を $A$ とする。点 $A$ を通り傾き $m$ の直線を $l$ とする。$l$ が $y=f(x)$ と異なる3点で交わるとき、$m$ の範囲を求める。さらに、$l$ と $y=f(x)$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $T$ を $m$ の式で表し、$T$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値記号を外す。

$x \ge 0$ のとき、$|x| = x$ なので、

$f(x) = x^2 + 2(x - 2x) + 2 = x^2 - 2x + 2$

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、

$f(x) = x^2 + 2(x - 2(-x)) + 2 = x^2 + 6x + 2$

したがって、$y=f(x)$ のグラフは、$x \ge 0$ のとき放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ の部分、$x < 0$ のとき放物線 $y = x^2 + 6x + 2$ の部分をつなぎ合わせた曲線である。

(2) $y=f(x)$ と $y$ 軸の交点 $A$ の座標を求める。$x=0$ のとき、$f(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$ なので、$A(0, 2)$ である。

点 $A(0, 2)$ を通る傾き $m$ の直線 $l$ の方程式は、$y = mx + 2$ である。

直線 $l$ が $y=f(x)$ と異なる3点で交わる条件を考える。

$x \ge 0$ のとき、$x^2 - 2x + 2 = mx + 2$ より、$x^2 - (m+2)x = 0$。よって、$x(x - (m+2)) = 0$。

$x=0, m+2$ で交わる。$x=0$ は点 $A$ であるから、$m+2 > 0$ より、$m > -2$ である必要がある。

$x < 0$ のとき、$x^2 + 6x + 2 = mx + 2$ より、$x^2 + (6-m)x = 0$。よって、$x(x + (6-m)) = 0$。

$x=0, m-6$ で交わる。$x=0$ は点 $A$ であるから、$m-6 < 0$ より、$m < 6$ である必要がある。

さらに、$m+2 \ne m-6$ である必要があるので、$0$ 以外の解を持つ必要がある。

したがって、$-2 < m < 6$ である。

$x \ge 0$ の範囲で囲まれた面積を $S_1$, $x < 0$ の範囲で囲まれた面積を $S_2$ とする。

$S_1 = \int_0^{m+2} (mx + 2 - (x^2 - 2x + 2)) dx = \int_0^{m+2} (-x^2 + (m+2)x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{m+2}{2}x^2]_0^{m+2} = -\frac{1}{3}(m+2)^3 + \frac{1}{2}(m+2)^3 = \frac{1}{6}(m+2)^3$

$S_2 = \int_{m-6}^0 (mx + 2 - (x^2 + 6x + 2)) dx = \int_{m-6}^0 (-x^2 + (m-6)x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{m-6}{2}x^2]_{m-6}^0 = 0 - (-\frac{1}{3}(m-6)^3 + \frac{m-6}{2}(m-6)^2) = \frac{1}{3}(m-6)^3 - \frac{1}{2}(m-6)^3 = -\frac{1}{6}(m-6)^3 = \frac{1}{6}(6-m)^3$

$T = S_1 + S_2 = \frac{1}{6}((m+2)^3 + (6-m)^3) = \frac{1}{6}(m^3 + 6m^2 + 12m + 8 + 216 - 108m + 18m^2 - m^3) = \frac{1}{6}(24m^2 - 96m + 224) = 4m^2 - 16m + \frac{112}{3}$

$T = 4(m^2 - 4m) + \frac{112}{3} = 4(m-2)^2 - 16 + \frac{112}{3} = 4(m-2)^2 + \frac{64}{3}$

したがって、$T$ は $m=2$ のとき、最小値 $\frac{64}{3}$ をとる。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 0

エ: 6

オ: 2

ウ: 0

カキ: -2

ク: 6

ケ: 4

コサ: 16

シスセ: 112

ソ: 3

タ: 2

チツ: 64

テ: 3