複素関数 $w = \frac{1}{2z}$ (ただし、$z \neq 0$) によって、$z$ が $z$ 平面上で半径2、中心が原点の円上を動くとき、$w$ が $w$ 平面上でどのように変化するかを図示する問題です。ただし、$z = x + iy$、$w = u + iv$ とします。

1. 問題の内容

複素関数 $w = \frac{1}{2z}$ (ただし、$z \neq 0$) によって、$z$ が $z$ 平面上で半径2、中心が原点の円上を動くとき、$w$ が $w$ 平面上でどのように変化するかを図示する問題です。ただし、$z = x + iy$、$w = u + iv$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$w = \frac{1}{2z}$ を $z$ について解きます。

$2z = \frac{1}{w}$

$z = \frac{1}{2w}$

$z$ は、$z$ 平面上で原点中心、半径2の円周上を動くので、$|z| = 2$ となります。

したがって、

$|z| = \left| \frac{1}{2w} \right| = 2$

$\frac{1}{2|w|} = 2$

$1 = 4|w|$

$|w| = \frac{1}{4}$

これは、$w$ 平面上で原点中心、半径 $\frac{1}{4}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

$w$ は、$w$ 平面上で原点中心、半径 $\frac{1}{4}$ の円周上を動きます。