点 $(1, -4e^2)$ を通り、関数 $y = x^2e^x$ に接する直線の方程式を求める問題です。ヒントとして、関数 $y = x^2e^x$ 上の点 $(a, a^2e^a)$ で接することを考えればよいとあります。

1. 問題の内容

点 $(1, -4e^2)$ を通り、関数 $y = x^2e^x$ に接する直線の方程式を求める問題です。ヒントとして、関数 $y = x^2e^x$ 上の点 $(a, a^2e^a)$ で接することを考えればよいとあります。

2. 解き方の手順

1. まず、$y = x^2e^x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。積の微分法を使うと、

$y' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x$

2. 点 $(a, a^2e^a)$ における接線の傾きは、$y'$ に $x=a$ を代入することで得られます。つまり、接線の傾きは $(a^2 + 2a)e^a$ です。

3. 点 $(a, a^2e^a)$ を通り、傾きが $(a^2 + 2a)e^a$ の直線の方程式は、

$y - a^2e^a = (a^2 + 2a)e^a(x - a)$

となります。

4. この直線が点 $(1, -4e^2)$ を通るので、上の式に $x=1$、$y=-4e^2$ を代入します。

$-4e^2 - a^2e^a = (a^2 + 2a)e^a(1 - a)$

5. これを $a$ について解きます。まず、$e^a \neq 0$ なので、$e^a$ で割ると、

$-4e^2e^{-a} - a^2 = (a^2 + 2a)(1 - a)$

$-4e^{2-a} - a^2 = a^2 - a^3 + 2a - 2a^2$

$-4e^{2-a} - a^2 = -a^3 + 2a - a^2$

$-4e^{2-a} = -a^3 + 2a$

$4e^{2-a} = a^3 - 2a$

$a=2$ がこの方程式を満たすことが分かります。

$4e^{2-2}=4$

$2^3 - 2 \times 2 = 8-4=4$

6. $a=2$ のとき、接点は $(2, 4e^2)$ であり、接線の傾きは $(2^2 + 2\cdot 2)e^2 = 8e^2$ です。したがって、接線の方程式は、

$y - 4e^2 = 8e^2(x - 2)$

$y = 8e^2x - 16e^2 + 4e^2$

$y = 8e^2x - 12e^2$

3. 最終的な答え

$y = 8e^2x - 12e^2$